审敛法 - 维基百科,自由的百科全书
在数学领域,收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。
判别法列表
[编辑]通项极限判别法
[编辑]如果序列通项的极限不为零或无定义,即,那么级数不收敛。在这种意义下,部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。
假设对任何的,。如果存在使得:
如果,那么级数绝对收敛。如果,那么级数发散。如果,比例判别法失效,级数可能收敛也可能发散,此时可以考虑高斯判别法。
设是要判断审敛性的级数,其中(至少从某一项开始)。倘若其相邻项比值可以被表示为:
其中和都是常数,而是一个有界的序列,那么
- 当或时,级数收敛;
- 当或时,级数发散。
其中表示上极限(可能为无穷,若极限存在,則极限值等于上极限)。
如果,级数绝对收敛。如果,级数发散。如果,开方判别法无效,级数可能收敛也可能发散。
级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令为一正项单调递减函数。如果:
那么级数收敛。如果积分发散,那么级数也发散。
如果是一個絕對收斂級數且對於足夠大的,有,那麼級數也絕對收斂。
如果,并且极限存在非零,那么收敛当且仅当收敛。
具有以下形式的级数。其中所有的非负,被称作交错级数。如果当趋于无穷时,数列的极限存在且等于,并且每个小于或等于(即数列是单调递减的),那么级数收敛。如果是级数的和那么部分和逼近有截断误差。
给定两个实数项数列和,如果数列满足收敛,是单调且有界的,则级数收敛。
参阅
[编辑]参考文献
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