排列 - 维基百科,自由的百科全书

「Permutation」的各地常用名稱
中国大陸排列
臺灣排列、置換
港澳排列
日本置換
P(3,3)=6

排列(英語:Permutation)或置換是將相異物件或符號根據確定的順序重排。每個順序都稱作一個排列[注 1]。例如,從一到六的數字有720種排列,對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列,例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 與1, 3, 5, 2, 4, 6

置換(排列)的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義:

  • 集合論中,一個集合的置換是從該集合映至自身的雙射;在有限集的情況,便與上述定義一致。
  • 組合數學中,置換一詞的傳統意義是一個有序序列,其中元素不重複,但可能有闕漏。例如1,2,4,3可以稱為1,2,3,4,5,6的一個置換,但是其中不含5,6。此時通常會標明為「從n個對象取r個對象的置換」。

定義

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一個集合置換為從該集合映至自身的雙射函數

恆等置換的定義為置換使得對所有

所有關於個元素的集合的置換組成的集合構成對稱群,其群運算函數的複合。因此兩個置換,的積的定義為

兩個置換的複合一般不滿足交換律

置換數的计算

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此節使用置換的傳統定義。从个相異元素中取出个元素,个元素的排列數量為:

其中P意为Permutation(排列),!表示階乘運算。

賽馬為例,有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码,從8匹馬中取出3匹馬來排前3名,排列數量為:

因为一共存在336种可能性,因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是:

不過,中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作(A代表Arrangement,即排列)。[1]

重複置換

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上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

个元素中取出个元素,个元素可以重复出现,這排列數量為:

[2]

四星彩為例,10個數字取4個數字,因可能重複所以排列數量為:

这时的一次性添入中奖的概率就应该是:

抽象代數

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集合論抽象代數等領域中,「置換」一詞被保留為集合(通常是有限集)到自身的雙射的一個稱呼。例如對於從一到十的數字構成的集合,其置換將是從集合 到自身的雙射。因此,置換是擁有相同定義域與上域的函數,且其為雙射的。一個集合上的置換在函數合成運算下構成一個,稱為對稱群或置換群。

符號

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以下僅考慮有限集上的置換(視為雙射),由於 個元素的有限集可以一一對應到集合 ,有限集的置換可以化約到形如 {1, ..., n} 的集合之置換。此時有兩種表示法。

第一,利用矩陣符號將自然排序寫在第一列,而將置換後的排序寫在第二列。例如:

表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置換

第二,藉由置換的相繼作用描述,這被稱為「轮换分解」。分解方式如下:固定置換 。對任一元素 ,由於集合有限而 是雙射,必存在正整數 使得 ,故可將置換 的相繼作用表成 ,其中 是滿足 的最小正整數。

稱上述表法為 下的轮换 稱為轮换的長度。我們在此將轮换視作環狀排列,例如

是同一個轮换。由此可知 下的轮换只決定於 作用下的軌道,於是,任兩個元素 或給出同一個轮换,或給出不交的轮换。

我們將轮换 理解為一類特殊的置換[注 2]:僅須定義置換 ,而在其它元素上定義為恆等映射。不交的轮换在函數合成的意義下可相交換。

因此我們可以將集合 {1, ..., n} 對一置換分解成不交轮换的合成,此分解若不計順序則是唯一的。例如前一個例子的 就對應到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。

輪換

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輪換一是種特殊的置換。

如果給定上的一個置換,上的一個子集。

若有

則稱 為一個輪換。 為輪換的長度。

特殊置換

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在上節的置换表法中,長度等於二的環狀置换稱為換位,這種環狀置换 不外是將元素 交換,並保持其它元素不變。對稱群可以由換位生成。

由於環狀置換長度為的置換可分解為最少個換位,若為偶數,則偶換位,否則奇換位。即環狀置換的長度為奇數,該置換為偶換位;環狀置換的長度為偶數,該置換為奇換位

由此可定義任一置換的奇偶性,並可證明:一個置換是偶換位的充要條件是它可以由偶數個換位生成。偶换位在置換群中構成一個正規子群,稱為交错群

計算理論中的置換

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某些舊課本將置換視為變數值的賦值。在計算機科學中,這就是將值

1, 2, ..., n

賦予變數

x1, x2, ..., xn

的賦值運算子,並要求每個值只能賦予一個變數。

賦值/代入的差別表明函數式編程指令式編程之差異。純粹的函數式編程並不提供賦值機制。現今數學的慣例是將置換看作函數,其間運算看作函數合成,函數式編程也類似。就賦值語言的觀點,一個代入是將給定的值「同時」重排,這是個有名的問題。

置換圖

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(2,5,1,4,3,6)的置換圖

取一個無向G,將圖Gn頂點標記v1,...,vn,對應一個置換( s(1) s(2) ... s(n) ),若且唯若s(i) < s(j) 而 i > j,則圖的vivj相連,這樣的圖稱為置換圖。

置換圖的補圖必是置換圖。

使用計算器

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多數計算器都有個計算置換數的 nPr 鍵。然而此鍵在一些最先進的桌上型機種中卻被隱藏了。例如:在 TI-83 中,按 MATH、三次右鍵、再按二。在卡西歐的圖形計算機中,按 OPTN,一次右鍵(F6)、PROB(F3)、nPr(F2)。

試算表語法

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多數試算表軟件都有函式 PERMUT(NumberNumber chosen),用以計算置換。Number 是描述物件數量的一個整數,Number chosen 是描述每個置換中所取物件數的整數。

C++演算範例

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迴圈法

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#include <iostream> using namespace std; bool arrsame(int* arr, int len, int num) { 	int i; 	for (i = 0; i < len; i++) 		if (arr[i] == num) 			break; 	return i != len; } bool next_perm(int* perm, const int k, const int n) { 	int i = k - 1; 	do 		perm[i]++; 	while (arrsame(perm, i, perm[i]) || (perm[i] >= n && i--)); 	if (perm[0] >= n) 		return 0; 	for (int num = 0, seat = i + 1; seat < k; num++) 		if (!arrsame(perm, i + 1, num)) 			perm[seat++] = num; 	return 1; } int main() { 	int n, k; 	cout << "perm(n,k):" << endl; 	cin >> n >> k; 	if (n < k || k <= 0) 		return 0; 	int* perm = new int[k]; 	for (int i = 0; i < k; i++) 		perm[i] = i; 	do 		for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n')) 			cout << perm[i] + 1; 	while (next_perm(perm, k, n)); 	delete[] perm; 	return 0; } 

遞迴法

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#include <bits/stdc++.h> using namespace std;  struct prem { 	int len; 	vector<int> used, position; 	function<void(vector<int>&)> action; 	prem(int l = 0, function<void(vector<int>&)> a = [](vector<int>& position) {}) : len(l), used(l, -1), position(l), action(a) {} 	void run(int now = -1) { 		if (now == len - 1) { 			action(position); 			return; 		} 		int next = now + 1; 		for (int i = 0; i < len; i++) { 			if (used[i] == -1) { 				used[i] = next; 				position[next] = i; 				run(next); 				used[i] = -1; 			} 		} 	} }; int main() { 	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0); 	int len = 4; 	prem p(len, [&](vector<int>& p) { 		for (int i = 0; i < len; i++) { 			cout << p[i] << " "; 		} 		cout << endl; 	}); 	p.run(); 	return 0; } 

python演算範例

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import sys   def perm(dim, num):     if not 0 <= num <= dim:         print('It must be that 0 <= num <= dim!', flush=True, file=sys.stderr)         return []      result = []     xstack = []      arr = []     xset = set(range(dim, 0, -1))      xstack.append((arr, xset))      while len(xstack):         theArr, theSet = xstack.pop()         for theInt in theSet:             newSet = theSet.copy()             newSet.remove(theInt)             newArr = theArr.copy()             newArr.append(theInt)             if num == len(newArr):                 result.append(newArr)             else:                 xstack.append((newArr, newSet))     return result 

注释

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  1. ^ 對於不排序的情形,請見條目組合
  2. ^ 可遞置換

參考文獻

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  1. ^ 普通高中教科书 数学 选择性必修第三册(A版). 北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. : 17 [2024-03-30]. ISBN 978-7-107-34598-2. 
  2. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  • Miklos Bona. "Combinatorics of Permutations", Chapman Hall-CRC, 2004. ISBN 978-1-58488-434-7.
  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4: Generating All Tuples and Permutations, Fascicle 2, first printing. Addison-Wesley, 2005. ISBN 978-0-201-85393-3.
  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Second Edition. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-89685-5. Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp.11–72.

外部連結

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