組合 - 维基百科,自由的百科全书
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在組合數學,一個集的元素的組合(英語:Combination)是一個子集。S的一個k-組合是S的一個有k個元素的子集。若兩個子集的元素完全相同並順序相異,它仍視為同一個組合,這是組合和排列不同之處。
表示方式
[编辑]从 n 个不同元素中取出 k 个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数,记做:、、、(英语)、(法语、罗马尼亚语、俄语、汉语(中國)[1]、波兰语)。
理論與公式
[编辑]从个元素中取出个元素,个元素的组合數量为:
以六合彩為例。在六合彩中从49顆球中取出6顆球的组合數量为:
在集合中取出k項元素
[编辑]重複組合理論與公式
[编辑]从个元素中取出个元素,個元素可以重複出現,這组合數量为:
以取色球為例,每種顏色的球有無限多顆,從8種色球中取出5顆球,好比是在5顆球間畫上分隔號“|”代表球色的分布情形。例如第1種色球取1顆,第2種色球取2顆,第3種色球取2顆可以表示成:
- 球|球球|球球| | | | |
可以理解为8类球每类取多少个,一起构成5个球。我们把5个球排成一排,用7个分隔线去隔开。如上图,表示含义:第1根线前表示第一类球取的个数,第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数,第7根后表示第八类球的个数。亦即問題是從(5+8-1)個位置中挑選出(8-1)個位置擺分隔號,這組合數量為:
因為組合數量公式特性,重複組合轉換成組合有另一種公式為:
另外也可以記為[2]或
在的定義中,由於它有意義的範圍必須是滿足條件,所以其他範圍必須另外定義,我們有:
演算範例
[编辑]組合 C
[编辑]迴圈法
[编辑]/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** Comb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_comb(int* comb, const int n, const int k) { int i = k - 1; const int e = n - k; do comb[i]++; while (comb[i] > e + i && i--); if (comb[0] > e) return 0; while (++i < k) comb[i] = comb[i - 1] + 1; return 1; } int main() { int n, k; cout << "comb(n,k):" << endl; cin >> n >> k; if (n < k || k <= 0) return 0; int* comb = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) comb[i] = i; do for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n')) cout << comb[i] + 1; while (next_comb(comb, n, k)); delete[] comb; return 0; }
遞迴法
[编辑]#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) { if (site > 0 && arr[site - 1] >= arr[site]) return 0; return 1; } inline void arrprint() { for (int i = 0; i < k; i++) printf("%3d", arr[i]); puts(""); count++; } void calculate(int now) { if (now == k) { arrprint(); return; } for (int i = 0; i < n; i++) { arr[now] = i; if (arrsame(now)) { calculate(now + 1); } } } inline void run(int nn, int kk) { n = nn, k = kk; count = 0; if (k < 12 && n >= k && k > 0) calculate(0); if (count) printf("\n%d combination.\n\n", count); else puts("Input error!"); } } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { comb::run(n, k); fflush(stdout); } return 0; }
重複組合 H
[编辑]迴圈法
[编辑]/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** ReComb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_re_comb(int* recomb, const int n, const int k) { int i = k - 1; do recomb[i]++; while (recomb[i] > n - 1 && i--); if (recomb[0] > n - 1) return 0; while (++i < k) recomb[i] = recomb[i - 1]; return 1; } int main() { int n, k; cout << "recomb(n,k):" << endl; cin >> n >> k; if (n <= 0 || k <= 0) return 0; int* recomb = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) recomb[i] = 0; do for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n')) cout << recomb[i] + 1; while (next_re_comb(recomb, n, k)); delete[] recomb; return 0; }
遞迴法
[编辑]#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace re_comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) { if (site > 0 && arr[site - 1] > arr[site]) return 0; return 1; } inline void arrprint() { for (int i = 0; i < k; i++) printf("%3d", arr[i]); puts(""); count++; } void calculate(int now) { if (now == k) { arrprint(); return; } for (int i = 0; i < n; i++) { arr[now] = i; if (arrsame(now)) { calculate(now + 1); } } } inline void run(int nn, int kk) { n = nn, k = kk; count = 0; if (k < 12 && k > 0) calculate(0); if (count) printf("\n%d combination.\n\n", count); else puts("Input error!"); } } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { re_comb::run(n, k); fflush(stdout); } return 0; }
推广
[编辑]组合数可以推广到多分类的情形 ,我们将n个物品分为m份,每份的个数分别为:个,那么,总的分类数为
参见
[编辑]參考文獻
[编辑]- ^ 普通高中教科书 数学 选择性必修第三册(A版). 北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. : 23 [2024-03-30]. ISBN 978-7-107-34598-2.
- ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392
- ^ 3.0 3.1 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392
外部链接
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