在数学中，柯西-利普希茨定理 （Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理 （Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程 的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西 于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨 给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理 ，得名于数学家埃米尔·皮卡 和恩斯特·林德勒夫 。
设E 賦範向量空間 （即一个巴拿赫空间 ），f E
f : U × I ⟶ E ( x , t ) ⟼ f ( x , t ) {\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}}
其中U E 开集 ，I R {\displaystyle \mathbb {R} } 区间 。考虑以下的一阶非线性 微分方程 ：
d x ( t ) d t = f ( x ( t ) , t ) ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)}
如果f t U 利普希茨条件 ，也就是说，
∃ κ > 0 , ∀ t ∈ I , ∀ x , y ∈ U , | f ( x , t ) − f ( y , t ) | ≤ κ | x − y | {\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}
那么对于任一给定的初始条件： x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} t 0 ∈ I {\displaystyle t_{0}\in I} x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} ( J , x ( t ) ) {\displaystyle (J,x(t))} J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} t 0 {\displaystyle t_{0}} x ( t ) {\displaystyle x(t)} J {\displaystyle J} U {\displaystyle U}
局部唯一性：在包含点 t 0 {\displaystyle t_{0}} J {\displaystyle J}
这个定理有点像物理学中的决定论 思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 y n + 1 = Φ ( y n ) {\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})} Φ ′ ( y n ) = f ( y n , t ) {\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)} y {\displaystyle y} y {\displaystyle y} Φ {\displaystyle \Phi } 不动点 ，这时就有 y ′ = Φ ′ ( y ) = f ( y , t ) {\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)} y {\displaystyle y}
y 0 ( t ) = x 0 {\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ } Φ ( y i ) ( t ) = x 0 + ∫ t 0 t f ( y i ( s ) , s ) d s . {\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.} 这样构造出来的函数列 ( y i ) i ≥ 0 {\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}} f {\displaystyle f} U {\displaystyle U} 利普希茨条件 ，当区间足够小的时候， Φ {\displaystyle \Phi } 收缩映射 。根据完备空间 的不动点存在定理，存在关于 Φ {\displaystyle \Phi }
由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。
局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解 ( J , x ( t ) ) {\displaystyle \ (J,x(t))} ( J ′ , x ′ ( t ) ) {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))} ( J , x ( t ) ) {\displaystyle \ (J,x(t))} ( J ′ , x ′ ( t ) ) {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))} J ⊂ J ′ {\displaystyle J\subset J^{\prime }} x ′ ( t ) {\displaystyle x^{\prime }(t)} J {\displaystyle \ J} x ( t ) {\displaystyle \ x(t)} 微分方程的最大解是唯一存在的 。
解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。
解的存在性：证明需要用到佐恩引理 ，构造所有解的并集。
对于一元的高阶常微分方程
F ( t , y ( t ) , y ′ ( t ) ⋯ y ( n − 1 ) ( t ) ) = y ( n ) ( t ) ( 2 ) {\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)} 只需构造向量 Y ( t ) = ( y ( t ) , y ′ ( t ) , … , y ( n − 1 ) ( t ) ) {\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))} Φ {\displaystyle \ \Phi } Y ′ ( t ) = Φ ( Y ( t ) , t ) {\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)} Y ( t 0 ) = Y 0 {\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}
y ( t 0 ) = y 0 y ′ ( t 0 ) = y 1 ⋮ y ( n − 1 ) ( t 0 ) = y n − 1 {\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}
对于偏微分方程 ，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理 ，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
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