微分方程 | 解法 | 通解 |
可分离方程 |
一阶,变量 和 均可分离(一般情况, 下面有特殊情况)[1]
| 分离变量(除以 )。 | |
一阶,变量 可分离[2]
| 直接积分。 | |
一阶自治,变量 可分离[2]
| 分离变量(除以 )。 | |
一阶,变量 和 均可分离[2]
| 整个积分。 | |
一般一阶微分方程 |
一阶,齐次[2] | 令 ,然后通过分离变量 和 求解. | |
一阶,可分离变量[1]
| 分离变量(除以 )。 |
如果 , 解为 . |
正合微分, 一阶[2]
其中 | 全部積分 | 其中 和 是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数 满足初始条件。 |
非正合微分, 一阶[2]
其中 | 积分因子 满足 | 如果可以得到 : |
一般二阶微分方程 |
二阶, 自治[3] | 原方程乘以 , 代换 , 然后两次积分. | |
线性方程 (最高到 阶) |
一阶线性,非齐次的函数系数[2] | 积分因子: . | |
二阶线性,非齐次的常系数[4] | 余函数 : 设 ,代换并解出 中的多项式,求出线性无关函数 。 特解 :一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 可以直观判断。[2] | 如果 , 则:
如果 , 则:
如果 , 则: |
阶线性,非齐次常系数[4] | 余函数 :设 ,代换并解出 中的多项式,求出线性无关函数 . 特解 :一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 可以直观判断。[2] | 由于 为 阶多项式的解: ,于是: 对于各不相同的 ,
每个根 重复 次,
对于一些复数值的 αj,令 α = χj + iγj,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成 ![{\displaystyle C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7eb2f28374edf8078966595f18460dc8a1dfb9f) 的形式,其中 ϕj 为任意常量(相移)。 |