數學 上，分離變數法 是一種解析常微分方程 或偏微分方程 的方法。使用這方法，可以藉代數 來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和 等於零。
假若，一個常微分方程可以寫為
d d x f ( x ) = g ( x ) [ h ( f ( x ) ) ] {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]} 設定變數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
d y d x = g ( x ) h ( y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)} (1) 只要是 h ( y ) ≠ 0 {\displaystyle h(y)\neq 0} h ( y ) {\displaystyle h(y)} d x {\displaystyle dx}
d y h ( y ) = g ( x ) d x {\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}} 這樣，可以將兩個變數 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} k {\displaystyle k}
∫ d y h ( y ) = ∫ g ( x ) d x = k {\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k} 有些不喜歡用萊布尼茨標記
1 h ( y ) d y d x = g ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)} 這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？
隨著 x {\displaystyle x}
∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx} (2) 應用换元积分法 ，
∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx} 假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 分式 看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II) 的解析裏會有更詳細的解釋，
常微分方程式 d d x f ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}
d y d x = y ( 1 − y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)} (3) 其中， y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
設定 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} h ( y ) = y ( 1 − y ) {\displaystyle h(y)=y(1-y)}
進一步編排，則
d y y ( 1 − y ) = d x {\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx} 變數 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
∫ d y y ( 1 − y ) = ∫ d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx} 積分的結果是
ln | y | − ln | 1 − y | = x + C {\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C} 其中， C {\displaystyle C} 積分常數 。稍加運算，則可得
y = 1 1 + B e − x {\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}} 在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} B {\displaystyle B} y = 1 {\displaystyle y=1} B = 0 {\displaystyle B=0}
特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 y {\displaystyle y} ( 1 − y ) {\displaystyle (1-y)} y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} y ( x ) = 1 {\displaystyle y(x)=1} 奇異解
人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達
d P d t = k P ( 1 − P K ) {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} 其中， P {\displaystyle P} t {\displaystyle t} k {\displaystyle k} K {\displaystyle K}
將方程式的兩邊都除以 P ( 1 − P K ) {\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} t {\displaystyle t}
∫ 1 P ( 1 − P K ) d p d t d t = ∫ k d t {\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt} 應用换元积分法 ，
∫ d P P ( 1 − P K ) = ∫ k d t {\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt} 稍微運算，則可得
P ( t ) = K 1 + A e − k t {\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}} 其中， A {\displaystyle A}
給予一個 n {\displaystyle n} F ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})} 偏微分方程 ，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程 ，可以猜想一個解答；解答的形式為
F = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) ⋯ F n ( x n ) {\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})} 或者
F = f 1 ( x 1 ) + f 2 ( x 2 ) + ⋯ + f n ( x n ) {\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})} 時常，對於每一個自變量 x i {\displaystyle x_{i}} 分離常數 。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation )。
假若，函數 F ( x , y , z ) {\displaystyle F(x,\ y,\ z)}
∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y + ∂ F ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0} 猜想解答為
F ( x , y , z ) = X ( x ) + Y ( y ) + Z ( z ) {\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)} 那麼，
d X d x + d Y d y + d Z d z = 0 {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0} 因為 X ( x ) {\displaystyle X(x)} x {\displaystyle x} Y ( y ) {\displaystyle Y(y)} y {\displaystyle y} Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} z {\displaystyle z}
d X d x = c 1 {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}} d Y d y = c 2 {\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}} d Z d z = c 3 {\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}} 其中， c 1 , c 2 , c 3 {\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}} c 1 + c 2 + c 3 = 0 {\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}
偏微分方程的答案為
F ( x , y , z ) = c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 {\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}} 其中， c 4 {\displaystyle c_{4}}
思考一個典型的偏微分方程，
∇ 2 v + λ v = ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + λ v = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0} 首先，猜想答案的形式為
v = X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle v=X(x)Y(y)} 代入偏微分方程，
∂ 2 ∂ x 2 [ X ( x ) Y ( y ) ] + ∂ 2 ∂ y 2 [ X ( x ) Y ( y ) ] + λ X ( x ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0} 或者，用單撇號標記，
X ″ ( x ) Y ( y ) + X ( x ) Y ″ ( y ) + λ X ( x ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0} 將方程式的兩邊除以 X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle X(x)Y(y)}
X ″ ( x ) X ( x ) = − Y ″ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}} 由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k {\displaystyle k}
X ″ ( x ) X ( x ) = k = − Y ″ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}} 因此，可以得到兩個新的常微分方程式：
X ″ ( x ) − k X ( x ) = 0 {\displaystyle X''(x)-kX(x)=0} Y ″ ( y ) + ( λ + k ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0} 這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程 。假若， k < 0 < λ + k {\displaystyle k<0<\lambda +k} 諧振問題 的方程式。解答為
X ( x ) = A x cos ( − k x + B x ) {\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})} Y ( y ) = A y cos ( λ + k y + B y ) {\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})} 其中， A x , A y {\displaystyle A_{x},\ A_{y}} B x , B y {\displaystyle B_{x},\ B_{y}} 邊界條件 求得。
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 。 
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1584f1eb42efb04ef49ca93b2c822f07527362)
![{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884091d608a02bfdd2e96e50739e8b9c7db28fc5)
