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黎卡提方程是形式如 y ′ = q 0 ( x ) + q 1 ( x ) y + q 2 ( x ) y 2 {\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}} 的常微分方程。該方程以義大利數學家雅各布·黎卡提命名。
先同乘 q 2 ( x ) {\displaystyle q_{2}(x)} ,使得 q 2 y ′ = q 0 q 2 + q 1 q 2 y + q 2 2 y 2 {\displaystyle q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}}
再以 v = y q 2 {\displaystyle v=yq_{2}} 代入:
再以 v = − u ′ u {\displaystyle v=-{\frac {u'}{u}}} 代入上式。
则
因此
最终 y = − u ′ q 2 u {\displaystyle y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}} .
顯然可設 y = w ″ w ′ {\displaystyle y={\frac {w''}{w'}}} :
再代入 − 2 u ′ u = y {\displaystyle -{\frac {2u'}{u}}=y} ,得線性微分方程:
因為 w ″ w ′ = − 2 u ′ u {\displaystyle {\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}} ,積分得 w ′ = C u 2 {\displaystyle w'={\frac {C}{u^{2}}}} 。另一方面,若線性微分方程有其他線性獨立解U,則有:
已知 y = y 1 {\displaystyle y=y_{1}} 是一特定解,可設通解 y = y 1 + 1 z {\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}} ,代入整理得一階線性常微分方程: