توزيع هندسي - ويكيبيديا
التوزيع الهندسي[1] (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"
إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi
.[2]
تعريف
[عدل]التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:
حيث أن ...,1,2,3=x
حيث أن , , لجميع قيم x
وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.
يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .
مثال
[عدل]ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟
الحل:
الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6
الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6
يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8
بتعويض المعطيات
أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.
دالة التوزيع التراكمية
[عدل]حيث أن ...,x=1,2,3
المنوال
[عدل]نلاحظ أن
أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1
متوسط التوزيع
[عدل]تباين التوزيع
[عدل]نعلم أن
بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على
وبذلك يكون التباين
دالة توليد العزوم
[عدل]و حيث أن
مثال:
احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.
الحل:
احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :
مثال:
إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد
1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .
2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.
3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .
4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.
الحل :
احتمال ولادة ذكر p= 1/3
X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر
1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي
...,1,2,3=x
,.
2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث
3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث
4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو
المراجع
[عدل]- ^ معجم البيانات والذكاء الاصطناعي (PDF) (بالعربية والإنجليزية)، الهيئة السعودية للبيانات والذكاء الاصطناعي، 2022، ص. 72، QID:Q111421033
- ^ "معلومات عن توزيع هندسي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2021-12-23.
- الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
- المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال