Построения с линийка и пергел – Уикипедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/HexagonConstructionAni.gif/220px-HexagonConstructionAni.gif)
Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение, известни от античността. При тях могат да се използват само два абстрактни чертожни инструмента:
- линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена, с нейна помощ може да се построи права през всеки две точки; и
- пергел, за който се приема, че може да начертае окръжност с произволен център и произволен радиус.
Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за начертаване на прав ъгъл).
Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на корен квадратен.[1]
В България този вид задачи започват да се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.
Решими задачи
[редактиране | редактиране на кода]Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:[2]
- Основни построителни задачи
-
- построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
- построяване на симетрала на дадена отсечка,
- построяване на перпендикуляр от точка към права,
- построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
- построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.
- Построяване на триъгълник
-
- по дадени две страни и ъгъл между тях,
- по дадени страна и два прилежащи към тази страна ъгли,
- по дадени три страни,
- построяване на правоъгълен триъгълник по катет и хипотенуза.
- Построяване на успоредник
-
- по дадени две страни и ъгъл
- по дадени два диагонала и ъгъл между тях
Известна е теоремата на Гаус-Ванцел:
- Правилен n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел, ако и само ако n е произведение от степен на 2 и различни прости числа на Ферма, т.е. ако и само ако n е във вида n = 2kp1p2…ps, където k е неотрицателно цяло число, а pi са различни прости числа на Ферма.
Нерешими задачи
[редактиране | редактиране на кода]Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:[1]
- Делоска задача
- Даден е куб с дължина на ръба . Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина
- Задача за квадратурата на кръга
- Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина , което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.
- Трисекция на ъгъл
- Задачата изисква произволен ъгъл с големина да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина да се построи отсечка с дължина . Това изисква решаването на уравнението , което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.