Степенуване (математика) – Уикипедия

Тази статия или раздел има нужда от повече източници, позволяващи проверка на твърденията. Можете да подобрите статията, като добавите благонадеждни източници. Неподкрепени с източници материали могат да бъдат оспорени и премахнати.

Степенуване или повдигане на степен е математическа операция, която изразява умножение на равни множители. Обозначението на степенуването е съкратен запис на произведението на равни множители.

Произведението от n на брой равни множители a, където n е естествено число, се записва като aⁿ и се нарича степенуване на основа a на степен n. Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},}$

Изразът ${\displaystyle \;5^{3}}$ се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат съответно още на квадрат и на куб. Така${\displaystyle \;5^{2}}$ може да се прочете като пет на квадрат. Числата, получени при повдигането на квадрат на цяло число, се наричат точни квадрати. ^[1]

Когато се работи с числа, обикновено се опростява: например 27 вместо${\displaystyle \;3^{3}}$, но когато се работи с променливи, се използва ${\displaystyle \;x^{6}}$ вместо ${\displaystyle \;xxxxxx}$.

Обратни действия на степенуването са коренуване и логаритмуване. При коренуването по известни резултат от степенуването и степенен показател (степен) се определя основата. При логаритмуването по известни резултат от степенуването и основа се определя степенният показател (степента).
Степенуване: ${\displaystyle \;a^{n}=b,}$
Коренуване: ${\displaystyle \;{\sqrt[{n}]{b}}=a}$
Логаритмуване: ${\displaystyle \;\log _{a}(b)=n}$

• Число, повдигнато на степен 1, си остава същото: ${\displaystyle \;a^{1}=a}$.
• Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1: ${\displaystyle \;a^{0}=1}$ при ${\displaystyle \;a\neq 0}$
  (при ${\displaystyle \;a=0\;}$ изразът ${\displaystyle \;0^{0}\;}$ е неопределеност ^[2]).
• Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му: ${\displaystyle \;a^{-1}={1 \over a}}$ при ${\displaystyle \;a\neq 0}$.
• Число, повдигнато на степен 1/n е равно на неговия n-ти корен: ${\displaystyle \;a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}$.
  • Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия квадратен корен: ${\displaystyle \;a^{\frac {1}{2}}={\sqrt {a}}}$.
  • Число, повдигнато на степен 1/3 е равно на неговия кубичен корен: ${\displaystyle \;a^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{a}}}$.
• При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.
• При повдигане на число на четна степен, резултатът винаги е положително число.

• Сборът на всички степени на числото 2 плюс 1 е равен на следващата степен на 2: 1 + 2⁰ + 2¹...+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ (за всяко цяло число n≥0).

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се замени с това, което той означава. На трета степен означава да се умножат три еднакви множителя, на четвърта – да се умножат четири еднакви множителя. Използвайки това, може да се разшири изразът и след това да се опрости:

${\displaystyle \;(x^{3})(x^{4})=(xxx)(xxxx)=xxxxxxx=x^{7}}$

Следователно ${\displaystyle \;x^{7}}$ е равно на ${\displaystyle \;x^{(3+4)}}$.

Умножение на степенни изрази с равни основи може да се представи като основа със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

${\displaystyle \;(x^{m})(x^{n})=x^{(m+n)}}$

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни основи. Например изразът ${\displaystyle \;(x^{4})(y^{3})}$ не може да се опрости, защото ${\displaystyle \;(x^{4})(y^{3})=xxxxyyy=(x^{4})(y^{3})}$ – и не е възможно комбинирането.

Използвайки същата логика, може да се замести изразът ${\displaystyle \;{(x^{2})}^{4}}$ с неговото значение – „на четвърта“ означава да се умножат четири равни множителя ${\displaystyle \;x^{2}}$.

${\displaystyle \;{(x^{2})}^{4}=(x^{2})(x^{2})(x^{2})(x^{2})=(xx)(xx)(xx)(xx)=xxxxxxxx=x^{8}}$.

Отново резултатът ${\displaystyle \;x^{8}}$ е равен на ${\displaystyle \;x^{(2\times 4)}}$

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който основата е повдигната на степен, равна на произведението от стeпeнните показатели, както в израза

${\displaystyle \;{(x^{m})}^{n}=x^{(m\times n)}}$.

При степенуване на произведение в скоби (хy)³, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

${\displaystyle \;{(xy^{2})}^{3}=(xy^{2})(xy^{2})(xy^{2})=(xxx)(y^{2}y^{2}y^{2})=x^{3}y^{6}=(x)^{3}{(y^{2})}^{3}}$.

И още един пример:

${\displaystyle \;\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}}$.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

${\displaystyle \quad (3+4)^{2}}$ не може да стане${\displaystyle \quad 3^{2}+4^{2}=9+16=25}$, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е ${\displaystyle \quad (3+4)^{2}=(7)^{2}=49}$.

По-добре е да се запише според това, че „на квадрат“ означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че ${\displaystyle \;{(x-2)}^{2}=(x-2)(x-2)=xx-2x-2x+4=x^{2}-4x+4}$. Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателният степенен показател показва, че основата е сложена от другата страна на дробната черта и за да стане с положителна стойност, изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза ${\displaystyle \;x^{-2}}$ (хикс на минус втора) x е поставен в числителя ${\displaystyle \;{\frac {x^{-2}}{1}}}$ вместо в знаменателя, което е равно на ${\displaystyle \;{\frac {1}{(x)^{2}}}}$.

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:

${\displaystyle \;x^{-4}={\frac {1x^{-4}}{1}}={\frac {1}{x^{4}}}}$

${\displaystyle \;{\frac {x^{2}}{x^{-3}}}={\frac {1x^{2}}{1x^{-3}}}={\frac {1x^{2}x^{3}}{1}}=x^{5}}$

${\displaystyle \;2x^{-1}={\frac {2x^{-1}}{1}}={\frac {2}{x^{1}}}={\frac {2}{x}}}$

Забележително е, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x, защото само тя е на степен –1.

${\displaystyle \;(3x)^{-2}={\frac {(3x)^{-2}}{1}}={\frac {1}{(3x)^{2}}}={\frac {1}{9x^{2}}}}$

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

${\displaystyle \;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {(y^{-3})^{2}}{(x^{-2})^{2}}}={\frac {y^{-6}}{x^{-4}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}}$

Същото може да се реши и така:

${\displaystyle \;{\left({\frac {x^{-2}}{y^{-3}}}\right)}^{-2}={\frac {(x^{-2})^{-2}}{(y^{-3})^{-2}}}={\frac {x^{4}}{y^{6}}}}$

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

${\displaystyle \;7^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{7^{2}}}=({\sqrt[{3}]{7}})^{2}}$

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират взаимно и резултатът не се променя. Например:

${\displaystyle \;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}=2}$

${\displaystyle \;{\sqrt[{4}]{3^{4}}}=3}$

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.

${\displaystyle \;{\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}}$

или

${\displaystyle \;{\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

${\displaystyle \;{\sqrt[{3}]{8}}=8^{\frac {1}{3}}=2}$

${\displaystyle \;{\sqrt[{4}]{81}}=81^{\frac {1}{4}}=3}$

Така горните примери може да се запишат по следния начин:

${\displaystyle \;{\sqrt[{3}]{2^{3}}}={(2^{3})}^{\frac {1}{3}}={(2^{\frac {3}{1}})^{\frac {1}{3}}}=2^{{\frac {3}{1}}\times {\frac {1}{3}}}=2^{1}=2}$

${\displaystyle \;{\sqrt[{4}]{(3)^{4}}}=(3^{4})^{\frac {1}{4}}=(3^{\frac {4}{1}})^{\frac {1}{4}}=3^{{\frac {4}{1}}\times {\frac {1}{4}}}=3^{1}=3}$

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр. ${\displaystyle \;15^{\frac {4}{5}}}$ трябва да стане ${\displaystyle \;15^{(4/5)}}$, защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено ${\displaystyle \;(15^{4})\div 5}$.

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

${\displaystyle \;({\sqrt[{10}]{25}})^{5}=(25^{\frac {1}{10}})^{5}=25^{{\frac {1}{10}}\times {\frac {5}{1}}}=25^{\frac {1}{2}}={\sqrt {25}}=5}$

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

${\displaystyle \;3^{5,5}=3^{\frac {11}{2}}}$

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да се изчисли с калкулатор. Например 3^π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

• Коренуване
• Логаритмуване

• Оригиналната статия Exponents: Basic Rules е на The Purplemath