Elliptisches Nomen – Wikipedia

In der Mathematik ist das Elliptische Nomen (analog zum englischen Wort „nome“: Bezirk, Name) eine nichtelementare Funktion. Diese Funktion entsteht durch eine elementare Kombination aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art, welche wiederum als Linearkombination aus vollständigen elliptischen Integralen zweiter Art und somit aus Umfängen von Ellipsen hervorgehen. Der Begriff Nomen als elliptische Funktion wurde insbesondere von den Mathematikern Folkmar Bornemann und Jörg Waldvogel verwendet. Das elliptische Nomen findet in der Theorie über elliptische Modulfunktionen Anwendung. Alternativ kann nach Robert Fricke das elliptische Nomen auch als Jacobische Entwicklungsgröße bezeichnet werden. Namensgebend für die von Robert Fricke gegebene Bezeichnung ist der Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi aus Preußen.

Das Elliptische Nomen ist der Exponentialfunktionswert vom negativen Produkt aus der Kreiszahl und dem reellen Halbperiodenverhältnis. Das reelle Halbperiodenverhältnis ist der Quotient des vollständigen Elliptischen Integrals erster Art vom pythagoräisch komplementären Modul dividiert durch das vollständige elliptische Integral erster Art vom Modul selbst. Jener elliptische Modul bildet die Abszisse der elliptischen Nomenfunktion. Das Elliptische Nomen^[1] wird mit dem Buchstaben q gekennzeichnet:

${\displaystyle q(x)\equiv \exp[-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})K(x)^{-1}]}$

Dabei ist das vollständige elliptische Integral erster Art auf folgende Weise definiert:^[2]

${\displaystyle K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y}$

Zum imaginären Halbperiodenverhältnis steht das elliptische Nomen in diesem Zusammenhang:

${\displaystyle q(x)=\exp[i\pi \tau (x)]}$

Denn es gilt:

${\displaystyle \tau (x)={\frac {iK({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}}$

Das imaginäre Halbperiodenverhältnis wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Tau abgekürzt.

Alle reellen x-Werte des Intervalls [-1;+1] werden in der Nomenfunktion q(x) reellen Zahlen zwischen eingeschlossen Null und eingeschlossen Eins zugeordnet. Die elliptische Nomenfunktion ist zur Ordinatenachse achsensymmetrisch. Somit gilt: q(x) = q(-x). Sie verläuft durch den Koordinatenursprung mit der Steigung Null und der Krümmung Plus Ein Achtel. Für das reellwertige Intervall ]-1;+1[ ist die elliptische Nomenfunktion q(x) streng monoton linksgekrümmt.

Die Maclaurinschen Reihe von q(x) hat an allen Stellen^[3] geradzahlige Exponenten und positive Koeffizienten:

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}}$

Der Konvergenzradius dieser Maclaurin-Reihe^[4] ist 1. Hierbei ist Kt(n) (OEIS A005797) für die Kotěšovec-Zahlen. Diese Zahlen bilden eine Zahlenfolge von ausschließlich natürlichen Zahlen Kt(n) ∈ ℕ für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ und diese Folge ist nicht elementar, sondern elliptisch aufgebaut.

Die Kotěšovec-Zahlen gehorchen folgender Erzeugungsvorschrift:

Als Startwert gilt der Wert Kt(1) = 1 und die darauf folgenden Werte dieser Folge werden mit jenen zwei für alle Zahlen n ∈ ℕ gültigen Formeln erzeugt:

${\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]}$

${\displaystyle {\text{ZA}}(n)=\sum _{m=0}^{n-1}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n-1-m)^{2}}$

Somit gilt auch:

${\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)\left\{16\left[\sum _{m=0}^{n-k}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n-k-m)^{2}\right]-\left[\sum _{m=0}^{n+1-k}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n+1-k-m)^{2}\right]\right\}}$

Der Zentralbinomialkoeffizient ${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)}$ ist auf folgende Weise definiert:

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}=\prod _{a=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{a}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{a}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}$

Das Kürzel CBC^[5][6] steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingeführt. Diese Zahlenfolge^[7] Kt(n) wurde durch den tschechischen Mathematiker^[8] und Feenschachkomponisten Václav Kotěšovec^[9] (geboren im Jahre 1956) erforscht. Mit ZA(n) wird eine Abwandlung^[10] (OEIS A036917) der Apery-Folge^[11] bezeichnet, welche durch die Mathematiker Sun Zhi-Hong und Reinhard Zumkeller erforscht wurde. Von diesen beiden Folgen werden im nun Folgenden einige Zahlen genannt:

Position n	Folgenzahl ZA(n)	Folgenzahl Kt(n)
1	1	1
2	8	8
3	88	84
4	1088	992
5	14296	12514
6	195008	164688
7	2728384	2232200
8	38879744	30920128
9	561787864	435506703
10	8206324928	6215660600
11	120929313088	89668182220
12	1794924383744	1305109502496
13	26802975999424	19138260194422
14	402298219288064	282441672732656
15	6064992788397568	4191287776164504
16	91786654611673088	62496081197436736
17	1393772628452578264	935823746406530603

Václav Kotěšovec schrieb die Zahlenfolge Kt(n) auf der Onlineenzyklopädie der Zahlenfolgen bis zur siebenhundertsten Folgenzahl nieder.

Außerdem gilt:

${\displaystyle 4\pi ^{-2}K(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{ZA}}(n)x^{2n-2}}{16^{n-1}}}}$

Die Maclaurinsche Reihe des Nomens vom Quotienten der identischen Abbildungsfunktion dividiert durch ihren pythagoräischen Nachfolger lautet so:

${\displaystyle q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{\text{Kt}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}}$

Denn es gilt:

${\displaystyle q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=-q(ix)}$

Mit dem Buchstaben i wird die imaginäre Einheit repräsentiert.

Es gilt mit dem Startwert Kt(1) = 1:

${\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]}$

Tabelle aller Folgen:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7
ZA(n)	1	8	88	1088	14296	195008	2728384
16ZA(n-1)-ZA(n)		8	40	320	3112	33728	391744
Kt(n)	1	8	84	992	12514	164688	2232200

Exemplarische Erzeugung:

${\displaystyle {\text{Kt}}(2)=1\times 8\times 1=8}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(3)={\tfrac {1}{2}}\times 40\times 1+1\times 8\times 8=84}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(4)={\tfrac {1}{3}}\times 320\times 1+{\tfrac {2}{3}}\times 40\times 8+1\times 8\times 84=992}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(5)={\tfrac {1}{4}}\times 3112\times 1+{\tfrac {2}{4}}\times 320\times 8+{\tfrac {3}{4}}\times 40\times 84+1\times 8\times 992=12514}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(6)={\tfrac {1}{5}}\times 33728\times 1+{\tfrac {2}{5}}\times 3112\times 8+{\tfrac {3}{5}}\times 320\times 84+{\tfrac {4}{5}}\times 40\times 992+1\times 8\times 12514=164688}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(7)={\tfrac {1}{6}}\times 391744\times 1+{\tfrac {2}{6}}\times 33728\times 8+{\tfrac {3}{6}}\times 3112\times 84+{\tfrac {4}{6}}\times 320\times 992+{\tfrac {5}{6}}\times 40\times 12514+1\times 8\times 164688=2232200}$

Die Faktoren kommen aus den beiden letzten Zeilen der Tabelle.

Außerdem gilt:

${\displaystyle {\text{Kt}}(2n)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{2n-1}(-1)^{k+1}16^{k}{\binom {2n-1}{k}}{\text{Kt}}(2n-k)}$

Erste Exemplare:

${\displaystyle {\text{Kt}}(2)={\frac {1}{2}}(1\times 16\times 1)=8}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(4)={\frac {1}{2}}(3\times 16\times 84-3\times 256\times 8+1\times 4096\times 1)=992}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(6)={\frac {1}{2}}(5\times 16\times 12514-10\times 256\times 992+10\times 4096\times 84-5\times 65536\times 8+1\times 1048576\times 1)=164688}$

Folgende zwei Summenformeln dienen der alternierenden Synthese der Zahlenfolge nach Kotěšovec über Fakultätsbrüche:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}2{\text{Kt}}(m){\text{Kt}}(2n+1-m)=\Pi (4n+1)\sum _{m=1}^{n}{\frac {m\,(2n+2-2m)\,4^{2n+2-2m}}{\Pi (2n+2-2m)\Pi (2n+3+2m)}}\,{\text{Kt}}(m)}$

${\displaystyle {\biggl [}\sum _{m=1}^{n}2{\text{Kt}}(m){\text{Kt}}(2n+2-m){\biggr ]}+{\text{Kt}}(n+1)^{2}=\Pi (4n+3)\sum _{m=1}^{n+1}{\frac {m\,(2n+3-2m)\,4^{2n+3-2m}}{\Pi (2n+3-2m)\Pi (2n+4+2m)}}\,{\text{Kt}}(m)}$

So sieht dann die exemplarische Ausführung aus:

${\displaystyle 2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(2)=\Pi (5)\,{\frac {16\times 1\times 2\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (2)\Pi (5)}}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(2)=8}$

${\displaystyle 2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(3)+{\text{Kt}}(2)^{2}=\Pi (7){\biggl [}{\frac {64\times 1\times 3\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (3)\Pi (6)}}+{\frac {4\times 2\times 1\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (1)\Pi (8)}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(3)=84}$

${\displaystyle 2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(4)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(3)=\Pi (9){\biggl [}{\frac {256\times 1\times 4\,}{\Pi (4)\Pi (7)}}\,{\text{Kt}}(1)+{\frac {16\times 2\times 2\,\Pi (9)}{\Pi (2)\Pi (9)}}\,{\text{Kt}}(2){\biggr ]}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(4)=992}$

${\displaystyle 2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(5)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(4)+{\text{Kt}}(3)^{2}=\Pi (11){\biggl [}{\frac {1024\times 1\times 5\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (5)\Pi (8)}}+{\frac {64\times 2\times 3\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (3)\Pi (10)}}+{\frac {4\times 3\times 1\,{\text{Kt}}(3)}{\Pi (1)\Pi (12)}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\cap \,{\text{Kt}}(4)=992\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(5)=12514}$

${\displaystyle 2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(6)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(5)+2{\text{Kt}}(3){\text{Kt}}(4)=\Pi (13){\biggl [}{\frac {4096\times 1\times 6\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (6)\Pi (9)}}+{\frac {256\times 2\times 4\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (4)\Pi (11)}}+{\frac {16\times 3\times 2\,{\text{Kt}}(3)}{\Pi (2)\Pi (13)}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\cap \,{\text{Kt}}(4)=992\,\cap \,{\text{Kt}}(5)=12514\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(6)=164688}$

Der schlesisch-deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen im Kapitel Berechnung der Grösse k auf den Seiten 54 bis 56 eine nichtelementare Zahlenfolge nieder, aus der die Zahlenfolge nach Václav Kotěšovec durch quartische Potenzierung der betroffenen erzeugenden Funktion hervorgeht. Diese Folge Sc(n) ist in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen unter der Nummer A002103 eingetragen. Ebenso erforschte der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach^[12] diese Formel und behandelte sie in seinem Werk Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen ausführlich. Diese Schellbach-Schwarz-Zahlenfolge wurde auch von den Mathematikern Karl Theodor Wilhelm Weierstraß^[13] und Louis Melville Milne-Thomson^[14] analysiert. Aus der MacLaurinschen Reihe der vierten Wurzel aus dem Quotienten des elliptischen Nomens dividiert durch die Quadratfunktion wird im nun Folgenden die Folge der Zahlen nach Schellbach und Schwarz Sc(n) hervorgebracht. Die beschriebene MacLaurinsche Reihe^[15][16][17] lautet so:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}}$

Umgeformt kommt dieser Ausdruck hervor:

${\displaystyle q(x)=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}\,x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

Zun nun genannten Ausdruck sind folgende beiden Ausdrücke übereinstimmend:

${\displaystyle q(x)={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}{\biggr ]}^{2}}$

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}}$

Die ersten Summanden dieser Reihenentwicklung lauten wie folgt:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {\color {blueviolet}1}{2}}+{\frac {\color {blueviolet}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {blueviolet}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {blueviolet}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {blueviolet}1707}{131072}}x^{8}+\cdots }$

Der Mathematiker Adolf Kneser ermittelte für diese Folge ein Syntheseverfahren nach analogem Muster zur oben genannten Folge:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}$

Die nachfolgende Tabelle zeigt die von Adolf Kneser behandelten Zahlenfolgen im Vergleich:

Verfahren nach Kneser

Index n	Kn(n) (A227503)	Sc(n) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707

Die hier erwähnte Zahlenfolge nach Adolf Kneser ist eine Zahlenfolge, welche mit Hilfe von Binomialkoeffizienten erzeugt werden kann. Als erzeugende Funktionen hat diese Zahlenfolge elliptische Funktionen. Besonders effizient kann die Knesersche Zahlenfolge so hervorgebracht werden:

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)}$

Ausgeführte Beispiele:

${\displaystyle {\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}}$

Die Knesersche Zahlenfolge Kn(n) ergibt sich exakt als Zahlenfolge in der Taylorschen Reihe von der Funktion des Periodenverhältnisses(Halbperiodenverhältnisses):

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }}$

Die Zahlenfolge erscheint ebenso in der Reihenentwicklung der folgenden Funktion:

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

Denn diese Funktion geht direkt als Ableitung der gezeigten Periodenverhältnis-Funktion hervor.

Bei Anwendung der Quotientenregel kann mit Hilfe der LEgendreschen Identität der nun gezeigte Ausdruck hervorgebracht werden.

Im Folgenden wird auch die Synthese der Schellbachschen Zahlen akkurat anhand einiger Beispiele beschrieben:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}$

So werden die Beispiele erzeugt:

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

Aus dieser Folge kann die Zahlenfolge nach Kotěšovec durch Aufsummierung ermittelt werden:

${\displaystyle {\text{Sc}}^{*}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Sc}}(n+1-m)}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}^{*}(m)\,{\text{Sc}}^{*}(n+1-m)}$

Mit Sc*(n) wird diejenige abgewandelte Folge der Schwarzschen Folge bezeichnet, die aus der MacLaurinschen Reihe von der Quadratwurzel aus dem Quotienten des Nomens dividiert durch die Quadratfunktion hervorgeht. Folgende Tabelle stellt die Zahlenfolgen gegenüber:

Tabelle elliptischer Zahlenfolgen

Index n	Sc(n) (A002103)	Sc*(n) (A274344)	Kt(n) (A005797)
1	1	1	1
2	2	4	8
3	15	34	84
4	150	360	992
5	1707	4239	12514
6	20910	53148	164688
7	268616	694582	2232200
8	3567400	9348664	30920128
9	48555069	128625067	435506703

Exemplarische Ausführung der genannten Summenformeln:

${\displaystyle {\color {blue}1}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}34}}$

${\displaystyle {\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}84}}$

${\displaystyle {\color {blue}1}\times {\color {blue}150}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}150}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}360}}$

${\displaystyle {\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}360}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}360}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}992}}$

Im nun Folgenden werden einige Nomenfunktionswerte gegliedert angegeben.

Das sind die Nicht Gelfondschen Werte, also die Werte, welche nicht mit der Gelfondschen Konstante ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }}$ in Verwandtschaft stehen:

${\displaystyle q(0)=0}$

${\displaystyle q(1)=1}$

${\displaystyle q(-1)=1}$

In folgender Liste werden einige Lemniskatischen und Landenschen Standardwerte dargestellt:

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }}$

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\operatorname {sech} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}={\text{e}}^{-2\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}-1){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {2}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-4\pi }}$

Weitere Lemniskatische Tochterwerte lauten wie folgt:

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-3\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}}\,)(3-2{\sqrt[{4}]{5}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-5\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}}\,)(3+2{\sqrt[{4}]{5}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )}$

${\displaystyle q{\biggl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{7}}\,{\bigr )}^{12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }={\text{e}}^{-7\pi }}$

${\displaystyle q{\biggl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{7}}\,{\bigr )}^{12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi )}$

Als Module in den gezeigten Wertepaaren sind hier zueinander Pythagoräische Gegenstücke eingetragen!

Werte vom Muster 4n + 2:

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {10}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {22}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {58}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}+1)^{6}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{29}}{\sqrt {58}}\,\pi )}$

Als Module in den gezeigten Wertepaaren sind hier zueinander tangentielle Gegenstücke eingetragen!

Werte vom Muster 4n - 1:

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {7}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {11}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )}$

Hier sind wieder zueinander Pythagoräische Gegenstücke eingetragen!

Werte vom Muster 4n + 1:

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {13}}\pi }}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\biggl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {37}}\pi }}$

${\displaystyle q{\biggl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{37}}{\sqrt {37}}\,\pi )}$

Auch die hier gezeigten Modulpaare sind Pythagoräische Gegenstücke!

Das Gesetz für das Quadrat des elliptischen Nomens beinhaltet die Bildung des Landenschen Tochtermoduls:

${\displaystyle q(x)^{2}=q{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl \{}\operatorname {tanh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (x){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

Der Landensche Tochtermodul ist zugleich das tangentielle Gegenstück des pythagoräischen Gegenstücks des Muttermoduls.

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen: ${\displaystyle (1+{\sqrt {1-x^{2}}})F{\bigl [}\arctan(w);x{\bigr ]}=F{\bigl [}\arctan(w)+\arctan({\sqrt {1-x^{2}}}\,w);x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ Der Differentialquotient von dieser Gleichungswaage bezüglich ${\displaystyle w}$ bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten der Gleichungswaage entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten der Waage verlaufen bezüglich ${\displaystyle w}$ durch den Koordinatenursprung. Daraus folgt direkt: ${\displaystyle (1+{\sqrt {1-x^{2}}})K(x)=2K{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck: ${\displaystyle K{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-x^{2}}})K({\sqrt {1-x^{2}}})}$ Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung: ${\displaystyle 2\,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}={\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}}$ Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse. Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner. Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert. Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert. Daraus folgt dann: ${\displaystyle q(x)^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(x)}{K(x)}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}2\,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ QUOD ERAT DEMONSTRANDUM!

Für diese Formel sollen im nun Folgenden drei Beispiele ausgeführt werden:

Trigonometrisch dargestellte Beispiele:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )^{2}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}^{2}=q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )^{2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {5}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {7}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {13}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

Hyperbolisch dargestellte Beispiele:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {6}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {14}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {22}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

Diese parametrisierte Formel für den Kubus des elliptischen Nomens ist für alle Werte −1 < u < 1 gültig.

${\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}$

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen: ${\displaystyle (2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)F{\bigl [}\arctan(w);u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=}$ ${\displaystyle =F{\bigl \{}\arctan(w)+2\arctan {\bigl [}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})\,w{\bigr ]};u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr \}}}$ Der Differentialquotient von dieser Gleichungswaage bezüglich ${\displaystyle w}$ bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten der Gleichungswaage entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten der Waage verlaufen bezüglich ${\displaystyle w}$ durch den Koordinatenursprung. Daraus folgt direkt: ${\displaystyle (2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=3K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$ Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck: ${\displaystyle K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}){\bigr ]}=(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}){\bigr ]}}$ Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung: ${\displaystyle 3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}={\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}}$ Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse. Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner. Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert. Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert. Daraus folgt dann: ${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=\exp {\biggl \langle }-\pi {\biggl \{}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$ Quod erat demonstrandum!

Alternativ hierzu kann diese Formel aufgestellt werden:

${\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

Die nun gezeigte Formel dient zur vereinfachten Rechnung, weil hier für die Ermittlung des betroffenen Wertes ${\displaystyle t}$ ganz einfach der gegebene elliptische Modul herangezogen werden kann, dieser einer Tangensverdopplung anvertraut werden kann und dann aus der Tangensverdopplung nur mehr nur die Kubikwurzel gezogen werden muss, um so direkt den Parametrisierungswert ${\displaystyle t}$ zu bekommen.

Hierfür sollen zwei Beispiele behandelt werden:

Im ersten Beispiel wird der Wert ${\displaystyle t=1}$ eingesetzt:

${\displaystyle \exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{3}=q({\sqrt {2}}-1)^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}}$

Im zweiten Beispiel wird der Wert ${\displaystyle t=\Phi ^{-2}}$ eingesetzt:

${\displaystyle \exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{3}=q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}({\sqrt {10}}-3)^{3}({\sqrt {2}}-1)^{6}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

Alle Potenzen mit dem Nomen einer positiven algebraischen Zahl als Basis und einer positiven rationalen Zahl als Exponent ergeben erneut Nomina von positiven algebraischen Zahlen:

${\displaystyle q(\varepsilon _{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{m\,\in \,\mathbb {Q^{+}} }=q(\varepsilon _{2}\in \mathbb {A} ^{+})}$

Denn akkurat basiert die Nomentransformation auf folgendem Grundmuster, welches für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gültig ist:

${\displaystyle q(\varepsilon )^{n}=q{\bigl [}\varepsilon ^{n}\Phi _{HRn}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}}$

Die reduzierte Hermitesche elliptische Funktion hat diese Definition:

${\displaystyle \Phi _{HRn}(\varepsilon )={\frac {\varphi _{H}[q(\varepsilon )^{n}]}{\varphi _{H}[q(\varepsilon )]^{n}}}}$

Diese reduzierte Hermitesche Phifunktion ist für ungerade Indizes identisch mit folgenden Sinus-Amplitudinis-Produkten:

${\displaystyle \Phi _{HR(2s+1)}(\varepsilon )=\prod _{r=1}^{s}\mathrm {sn} {\biggl [}{\frac {2r-1}{2s+1}}K(\varepsilon );\varepsilon {\biggr ]}}$

Beispielsweise gelten folgende Werte:

${\displaystyle \Phi _{HR3}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

${\displaystyle \Phi _{HR5}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

${\displaystyle \Phi _{HR7}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

Für die effiziente Berechnung der reduzierten Hermiteschen Funktionswerte mögen in Abhängigkeit vom elliptischen Modul beziehungsweise von der Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$ folgende Gleichungen^[18][19] nach der positiven zwischen Null und Eins liegenden Lösung aufgelöst werden:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{4}-2\,\varepsilon ^{2}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{3}+2\,\Phi _{HR3}(\varepsilon )-1=0}$	${\displaystyle q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl [}\varepsilon ^{3}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}}$
${\displaystyle \varepsilon ^{6}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{6}-4\,\varepsilon ^{6}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{5}+5\,\varepsilon ^{4}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{4}-5\,\varepsilon ^{2}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{2}+4\,\Phi _{HR5}(\varepsilon )-1=0}$	${\displaystyle q(\varepsilon )^{5}=q{\bigl [}\varepsilon ^{5}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}}$

Folgende Hermiteschen Phi-Ausdrücke lösen nachfolgende Gleichungen:

Stufe Sieben: ${\displaystyle x=\Phi _{HR7}(k)}$ löst die Gleichungen ${\displaystyle k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0}$ und ${\displaystyle (1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})}$

Stufe Elf: ${\displaystyle x=\Phi _{HR11}(k)}$ löst die Gleichung ${\displaystyle k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+}$${\displaystyle +132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0}$

Erstes quintisches Rechenbeispiel:

${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}-{\tfrac {1}{2}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}+{\tfrac {5}{4}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}-{\tfrac {5}{2}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{2}+4\,\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-1=0}$

${\displaystyle \Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)}$