Elliptische Integrale – Wikipedia

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle R}$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und ${\displaystyle P(x)}$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

II. Art: ${\displaystyle \int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$

III. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}$

Dabei ist der "elliptische Modul" ${\displaystyle 0<k<1.}$ Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ statt ${\displaystyle k}$ in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf ${\displaystyle m<0}$ erweitert.

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze ${\displaystyle \pi /2}$, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$, das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell'schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle F_{1}(a;b_{1},b_{2};c;x,y).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot F_{1}({\tfrac {1}{2}};1,{\tfrac {1}{2}};1;n,k^{2})\end{aligned}}}$

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$ dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution ${\displaystyle t=\sin \vartheta }$ in die Legendre-Normalform^[1] überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$

	Konvention mit Parameter ${\displaystyle k}$	Konvention mit Parameter ${\displaystyle m}$
I. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	${\displaystyle K(m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	${\displaystyle K(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$
II. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle E(m):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
II. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }$	${\displaystyle E(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }$
III. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}}$

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale ${\displaystyle K'}$ und ${\displaystyle E'}$ sind mit der komplementären Variable ${\displaystyle k'}$ wie im Folgenden dargestellt definiert.

${\displaystyle {\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}}$

So ist das Elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße definiert:

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(\varepsilon )}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}}$

Das Elliptische Nomen stellt die Kernbeziehung zur Jacobischen Thetafunktion her:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}\,{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}}$

Für die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art existieren folgende weitere Integraldarstellungen:

Elliptisches Integral erster Art	Elliptisches Integral zweiter Art
${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)[(1-k^{2})x^{2}+1]}}}\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {(1-k^{2})x^{2}+1}}{\sqrt {(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x}$
${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x}$
${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

Die soeben gezeigten Integraldarstellungen entstehen insbesondere dann, wenn man die genannte standardisierte Legendresche Normalform mit der Arkustangensfunktion ${\displaystyle \arctan(x)}$ als innere Funktion substituiert und dabei nach dem Muster der infinitesimalanalytischen Kettenregel nachdifferenziert.

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe beziehungsweise MacLaurinsche Reihe darstellen.^[2] Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument ${\displaystyle k}$ abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Denn die Potenzreihen für die Funktionen ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle E}$ konvergieren mit der Konvergenzgeschwindigkeit der Maclaurinschen Reihen für die Funktionen Arkussinus und Areatangens hyperbolicus und können mit Hilfe ihrer genannten Integraldarstellungen hergeleitet werden. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument ${\displaystyle k}$ in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln. Die Maclaurinsche Reihe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art beinhaltet in Abhängigkeit vom Summenindex den Quotienten vom Quadrat des Zentralbinomialkoeffizienten dividiert durch die Sechzehnerpotenz als Vorfaktor zur Potenz des Abszissenwertes potenziert mit dem Doppelten des Summenindex als Summandenfunktion der betroffenen Summenreihe. Und die Maclaurinsche Reihe des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Art unterscheidet sich von derjenigen des vollständigen elliptischen Integrals erster Art alleine darin, dass bei der Summandenfunktion der Summenreihe von der Funktion ${\displaystyle E}$ der negativ geschaltete Vorgänger der Verdopplungsfunktion in Abhängigkeit vom Summenindex steht.

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}k^{2n}{\biggr \}}}$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1-\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}{\biggr \}}}$

Der Zentralbinomialkoeffizient ${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)}$ ist auf folgende Weise definiert:

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}=\prod _{a=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{a}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{a}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}$

Das Kürzel CBC^[3][4] steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingeführt. Das Elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße q(k) hat eine MacLaurinsche Reihe, welche an allen Stellen^[5] geradzahlige Exponenten und positive Koeffizienten trägt:

${\displaystyle q(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)\,\varepsilon ^{2n}}{16^{n}}}}$

Der Konvergenzradius dieser Maclaurin-Reihe^[6] ist 1. Hierbei ist Kt(n) (OEIS A005797) eine Zahlenfolge von ausschließlich natürlichen Zahlen Kt(n) ∈ ℕ für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ und sie ist nicht elementar, sondern elliptisch aufgebaut.

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von ${\displaystyle k_{n}}$ und ${\displaystyle k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}$ bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art

	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	${\displaystyle k_{0}:=k}$	${\displaystyle k_{0}:=k}$
Rekursionsgleichung	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}}$
Produktformeln	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})}$	${\displaystyle K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})}$

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt ${\displaystyle a}$ den arithmetischen Mittelwert, ${\displaystyle b}$ den geometrischen Mittelwert und ${\displaystyle c}$ eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte ${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$ sind wie angegeben durch das Argument ${\displaystyle k}$ definiert. Zu beachten ist, dass für ${\displaystyle k=1}$ das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann ${\displaystyle E(1)}$ nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu ${\displaystyle E(1)=1}$ bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention ${\displaystyle E(m),\;K(m)}$ lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution ${\displaystyle m=k^{2}}$. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (${\displaystyle \approx 16}$ dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von ${\displaystyle n=4}$ Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei ${\displaystyle n>4}$ sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle a_{0}:=1}$	${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}}$
${\displaystyle b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}}$	${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle c_{0}:=k}$	${\displaystyle c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle \Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle p_{0}:={\sqrt {1-n}}}$	${\displaystyle p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}}$
${\displaystyle Q_{0}:=1}$	${\displaystyle Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}}$

Durch Substitution gemäß ${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}}$ findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle \alpha _{0}:=1}$	${\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}}$
${\displaystyle \beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle \beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)}$

Der deutsche Mathematiker Adolf Kneser untersuchte in seinem Aufsatz Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen die ganzzahlige Folge des elliptischen Periodenverhältnisses und zeigte, dass die erzeugende Funktion dieser Folge eine elliptische Funktion ist. Auch ein weiterer Mathematiker namens Robert Fricke analysierte in seinem Aufsatz Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen diese ganzzahlige Folge und beschrieb die exakten Rechenmethoden unter Verwendung dieser genannten Folge. Die Knesersche Zahlenfolge Kn(n) kann folgendermaßen erzeugt werden:

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)}$

Mit den großen Rundklammerausdrücken in diesen beiden Formeln werden die Binomialkoeffizienten ausgedrückt.

Ausgeführte Rechenbeispiele:

${\displaystyle {\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}}$

In der OEIS wurde diese Zahlenfolge nach Kneser mit Code A227503 eingetragen:

Kn(1)	Kn(2)	Kn(3)	Kn(4)	Kn(5)	Kn(6)	Kn(7)	Kn(8)
1	13	184	2701	40456	613720	9391936	144644749

Die Kneser-Folge erscheint in der Taylor-Reihe des Periodenverhältnisses (Halbperiodenverhältnis):

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }}$

Die Ableitung dieser Gleichung bezüglich ${\displaystyle x}$ führt zu dieser Gleichung, die die erzeugende Funktion der Kneser-Zahlenfolge zeigt:

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }}$

Dieses Ergebnis erscheint deswegen, weil die Legendresche Identität ${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$ im Zähler des Bruchs von der Ableitung bei der Anwendung der Quotientenregel erscheint.

Das elliptische Nomen hat diese bereits genannte Definition:

${\displaystyle q(x)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(x)}{K(x)}}{\biggr ]}}$

Das elliptische Nomen hat eine zu den bereits genannten Definitionen identische Definition über die Zahlenfolge^[7][8][9] nach Hermann Schwarz:

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}}$

${\displaystyle q(x)=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}\,x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

In der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen OEIS wurde diese Zahlenfolge nach Schellbach und Schwarz^{[10][11][12][13][14]} mit Code A002103 eingetragen:

Sc(1)	Sc(2)	Sc(3)	Sc(4)	Sc(5)	Sc(6)	Sc(7)	Sc(8)
1	2	15	150	1707	20910	268616	3567400

Die zuletzt genannte Reihenentwicklung wird im nun Folgenden exemplarisch anhand ihrer ersten fünf Summanden dargestellt:

${\displaystyle q(x)=x^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}x^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}}$

Der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach entdeckte die ganzzahlige Zahlenfolge, die in der MacLaurinschen Reihe von der vierten Wurzel des Quotienten vom Elliptischen Nomen dividiert durch die quadrierende Funktion vorkommt. Dieser Wissenschaftler^[15][16] hat diese Folge A002103 in seinem Werk „Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen“ im Detail aufgebaut. Speziell auf Seite 60 dieses Werkes ist in seinem Werk eine Syntheseroute dieser Sequenz niedergeschrieben. Auch der schlesisch-deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen im Kapitel Berechnung der Grösse k auf den Seiten 54 bis 56 diese ganzzahlige Zahlenfolge nieder. Diese Schellbach-Schwarz-Zahlenfolge Sc(n) wurde im 20. Jahrhundert auch von den Mathematikern Karl Theodor Wilhelm Weierstraß und Louis Melville Milne-Thomson analysiert. Die Synthesemethode der Schellbachschen Zahlen erfolgt nach diesem Muster:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

Exemplarisch soll im nun Folgenden gezeigt werden, wie die Schellbachschen Zahlen sukzessiv aufgebaut werden. Hierfür werden die Beispiele mit den Zahlen Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 and Sc(6) = 20910 in ihrem Erzeugungsalgorithmus dargestellt:

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

Gegeben sind diese MacLaurinschen Reihen:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}}$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(1-2n)}}\,k^{2n}}$

Es gelten diese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}k^{2n}x^{2n}}$

${\displaystyle {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}k^{2n}x^{2n}}$

Zusätzlich ist jenes Integral für alle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}}$

Deswegen gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$ ${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}}}{\biggl [}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}k^{2n}}$

Und für das vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$ ${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\biggl [}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(1-2n)}}k^{2n}}$

Als Singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values werden diejenigen vollständigen elliptischen Integrale^[17] bezeichnet, welche als algebraische Kombination von den Gammafunktionswerten rationaler Zahlen dargestellt werden können. Eine solche Darstellung ist dann möglich, wenn der Modulbetrag beziehungsweise Exzentrizitätsbetrag der betroffenen elliptischen Integrale gleich einem elliptischen Lambda-Stern-Wert von einer positiven rationalen Zahl ist. Im nun folgenden sollen genau solche elliptischen Integralidentitäten aufgestellt werden:

Eulersche Betafunktionsidentitäten der Integrale K und E

Elliptischer Modul k	Elliptische Integrale erster Art	Elliptische Integrale zweiter Art
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle K(0)={\tfrac {1}{2}}\pi =K'(1)}$	${\displaystyle E(0)={\tfrac {1}{2}}\pi =E'(1)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \lim _{k\to 1}K(k)=+\,\infty }$	${\displaystyle E(1)=1}$
${\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\varpi ={\tfrac {1}{4}}\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}}$	${\displaystyle E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\varpi +\pi \,\varpi ^{-1}{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}+\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle K({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}}$	${\displaystyle E({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}+{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}}$	${\displaystyle K{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}}$	${\displaystyle E{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}+{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}(3)=\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )}$	${\displaystyle K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}}$	${\displaystyle E{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{3}})=\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}$	${\displaystyle K{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}}$	${\displaystyle E{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}^{-1}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \varpi }$ die Lemniskatische Konstante und mit ${\displaystyle \beta (x)=\Gamma (x)^{2}/\Gamma (2x)}$ wird die reduzierte Eulersche Betafunktion dargestellt.

Hier werden mit ${\displaystyle K'}$, ${\displaystyle E'}$ und ${\displaystyle k'}$ wieder die komplementären Größen ausgedrückt.

Und mit dem Ausdruck ${\displaystyle \lambda ^{*}(p)}$ wird die Elliptische Lambda-Stern-Funktion dargestellt. Diese Funktion erfüllt generell folgendes Kriterium:

${\displaystyle K{\bigl [}{\sqrt {1-\lambda ^{*}(p)^{2}}}{\bigr ]}/K{\bigl [}\lambda ^{*}(p){\bigr ]}={\sqrt {p}}}$

Damit zusammenhängend gilt auch:

${\displaystyle q[\lambda ^{*}(p){\bigr ]}=\exp(-\pi {\sqrt {p}})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(p)=q^{\langle {-1}\rangle }{\bigl [}\exp(-\pi {\sqrt {p}}){\bigr ]}={\frac {\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]^{2}}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]^{2}}}}$

Nun folgen noch weitere Identitäten:

${\displaystyle K{\bigl [}\lambda ^{*}(5){\bigr ]}=K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=2^{-37/20}5^{-5/8}({\sqrt {5}}+1)^{5/4}\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\beta ({\tfrac {9}{20}})}$

${\displaystyle K{\bigl [}\lambda ^{*}(6){\bigr ]}=K{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=2^{-37/12}3^{-3/4}({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)\beta ({\tfrac {11}{24}})}$

${\displaystyle K{\bigl [}\lambda ^{*}(7){\bigr ]}=K{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}=2^{-11/7}7^{-5/4}\cot({\tfrac {1}{7}}\pi )\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {2}{7}})\beta ({\tfrac {4}{7}})\beta ({\tfrac {5}{14}})}$

${\displaystyle K{\bigl [}\lambda ^{*}(15){\bigr ]}=K{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}}){\bigr ]}=2^{-4}3^{-5/4}5^{-5/4}({\sqrt {5}}+1)^{2}\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {2}{15}})\beta ({\tfrac {8}{15}})\beta ({\tfrac {1}{3}})}$

Die genannten Elliptischen Lambda-Stern-Werte kommen auch mit Hilfe des Lösens dieser für alle n ∈ ℕ gültigen Formeln hervor:

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n)={\biggl [}1-\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{2}\,{\biggr ]}^{1/2}}$

Dabei stellt die Amkürzung dn das Delta Amplitudinis aus der Gruppe der Jacobischen Amplitudenfunktionen dar!

Außerdem gelten folgende Identitäten für das vollständige elliptische Integral dritter Art:

${\displaystyle \Pi (0,0)={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)=\infty }$

Spezielle Funktionswerte:^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&\equiv {\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\tfrac {1}{2}}K(k)\end{aligned}}}$

Die Transformationen des elliptischen Moduls^[19] erfolgen nach den nunfolgenden Mustern:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&\equiv {\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&\equiv {\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}}$

Bezüglich des standardisierten Legendreschen Moduls beziehungsweise bezüglich der numerischen Exzentrizität ist die soeben gezeigte Transformation imaginär beschaffen. Wenn diese Modultransformation auf sich selbst angewandt wird beziehungsweise zweimal hintereinander durchgeführt wird, dann entsteht wieder der anfängliche Modul. Somit hat diese Modultransformation einen reflexiven Charakter.

Die Landensche Transformation bringt den ersten Tochtermodul in Bezug auf den gegebenen Muttermodul hervor. Der erste Tochtermodul ist das tangentielle Gegenstück vom Pythagoräischen Gegenstück vom Muttermodul. Somit geht der erste Tochtermodul ebenso als Quadrat von der Tangens-Hyperbolicus-Halbierung vom Muttermodul hervor. Wenn zwei elliptische Module zueinander Pythagoräische Gegenstücke sind, dann ergeben die Quadrate der betroffenen Module miteinander addiert den Wert Eins. Wenn zwei elliptische Module zueinander tangentielle Gegenstücke sind, dann ergeben die Nachfolger der betroffenen Module miteinander multipliziert den Wert Zwei. Das Elliptische Nomen vom Landenschen Tochtermodul ist das Quadrat des elliptischen Nomens vom gegebenen Muttermodul. Denn das reelle Halbperiodenverhältnis^[20] verdoppelt sich bei der Landenschen Modultransformation:

${\displaystyle 2\,{\frac {K({\color {blue}{\sqrt {1-k^{2}}}})}{K({\color {blueviolet}k})}}={\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}]}{K[{\color {green}(1-{\sqrt {1-k^{2}}})(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}}]}}={\frac {K({\sqrt {1-{\color {green}t}^{2}}})}{K({\color {green}t})}}}$

Der Landensche Tochtermodul der Legendreschen Form wird exakt so hervorgerufen:

${\displaystyle {\color {green}t=(1-{\sqrt {1-k^{2}}})(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k){\bigr ]}^{2}=\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (k){\bigr ]}^{2}}}$

Elliptisches Nomen vom Landenschen Tochtermodul:

${\displaystyle q({\color {blueviolet}k})^{2}=q{\biggl (}{\color {green}{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}}{\biggr )}=q{\biggl (}{\frac {1-{\color {blue}k'}}{1+{\color {blue}k'}}}{\biggr )}}$

Für die Integrale K und E selbst gelten analog diese Formeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&\equiv {\frac {1}{1+k}}\;K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {2}{1+k}}\;K'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\\K(k)&\equiv {\frac {2}{1+k'}}\;K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\quad {\text{(Landen-Transformation)}}&K'(k)&\equiv {\frac {1}{1+k'}}\;K'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\\E(k)&\equiv {\frac {1+k}{2}}\;E\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\frac {k'^{2}}{2}}\;K\left(k\right)&E'(k)&\equiv (1+k)\;E'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-k\;K'\left(k\right)\\E(k)&\equiv (1+k')\;E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-k'\;K(k)&E'(k)&\equiv {\frac {1+k'}{2}}\;E'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}}{2}}\;K'(k)\end{aligned}}}$

Exemplarisch sollen im Folgenden drei Beispiele mit der Landen-Transformation behandelt werden:

Landensche Modultransformationen

Muttermodul	Tangens-Hyperbolicus-Halbierung	Gegenstück-Rechenverfahren	Periodenverhältnis	Nomenfunktion
${\displaystyle {\color {blueviolet}k={\tfrac {3}{5}}}}$	${\displaystyle \tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{9}}}}$	${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\color {Gray}{\tfrac {10}{9}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{9}}})}$	${\displaystyle {\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{9}}{\sqrt {5}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{9}}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {3}{5}})^{2}=q({\tfrac {1}{9}})}$
${\displaystyle {\color {blueviolet}k={\tfrac {8}{17}}}}$	${\displaystyle \tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{16}}}}$	${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {15}{17}}})={\color {Gray}{\tfrac {17}{16}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{16}}})}$	${\displaystyle {\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {15}{17}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})}}={\frac {K({\tfrac {1}{16}}{\sqrt {255}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{16}}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {8}{17}})^{2}=q({\tfrac {1}{16}})}$
${\displaystyle {\color {blueviolet}k={\tfrac {5}{13}}}}$	${\displaystyle \tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{25}}}}$	${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {12}{13}}})={\color {Gray}{\tfrac {26}{25}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{25}}})}$	${\displaystyle {\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {12}{13}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{25}}{\sqrt {39}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{25}}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {5}{13}})^{2}=q({\tfrac {1}{25}})}$
${\displaystyle {\color {blueviolet}k={\tfrac {12}{37}}}}$	${\displaystyle \tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{36}}}}$	${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {35}{37}}})={\color {Gray}{\tfrac {37}{36}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{36}}})}$	${\displaystyle {\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {35}{37}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})}}={\frac {K({\tfrac {1}{36}}{\sqrt {1295}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{36}}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {12}{37}})^{2}=q({\tfrac {1}{36}})}$

Der ${\displaystyle {\color {blue}{\text{Komplementärmodul}}}}$ ist das Pythagoräische Gegenstück zum ${\displaystyle {\color {blueviolet}{\text{Muttermodul}}}}$:

${\displaystyle {\color {blue}{k'}}={\sqrt {1-{\color {blueviolet}{k}}^{2}}}}$

Der ${\displaystyle {\color {green}{\text{Tochtermodul}}}}$ ist das tangentielle Gegenstück zum ${\displaystyle {\color {blue}{\text{Komplementärmodul}}}}$:

${\displaystyle {\color {green}{t}}={\frac {1-{\color {blue}{k'}}}{1-{\color {blue}{k'}}}}}$

Der ${\displaystyle {\color {Gray}{\text{K-Quotient}}}}$ ${\displaystyle K({\color {blueviolet}{k}})/K({\color {green}{t}})}$ ist mit dem Nachfolger vom ${\displaystyle {\color {green}{\text{Tochtermodul}}}}$ identisch.

Mit dem Sinus Amplitudinis und dem Delta Amplitudinis können folgende Modultransformationen durchgeführt werden:

${\displaystyle K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}}$