In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion oder auch Jacobische Amplitudenfunktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen . Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik , bei elliptischen Filtern und in der Geometrie , insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse . Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Kosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.
Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter k {\displaystyle k} , der elliptische Modul, der der Ungleichung 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} genügt. Er wird oft auch als m {\displaystyle m} angegeben, wobei m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}} , oder als modularer Winkel α {\displaystyle \alpha } , wobei sin 2 α = k 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha =k^{2}} . Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} sowie m 1 = k ′ 2 {\displaystyle m_{1}={k'}^{2}} verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann
der sinus amplitudinis sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} , der cosinus amplitudinis cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} , das delta amplitudinis dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} . Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:
Funktion Perioden Nullstelle Polstelle sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} 4 K , 2 i K ′ {\displaystyle 4\,K,\ 2\,\mathrm {i} K'} 2 m K + 2 n i K ′ {\displaystyle 2mK+2\,n\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} 4 K , 2 ( K + i K ′ ) {\displaystyle 4\,K,\ 2\,(K+\mathrm {i} K')} ( 2 m + 1 ) K + 2 n i K ′ {\displaystyle (2m+1)\,K+2\,n\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} 2 K , 4 i K ′ {\displaystyle 2\,K,\ 4\,\mathrm {i} K'} ( 2 m + 1 ) K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle (2\,m+1)\,K+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} n und m sind ganze Zahlen
Hierbei hängen die reellen Zahlen K {\displaystyle K} und K ′ {\displaystyle K'} mit dem Parameter k {\displaystyle k} über die elliptischen Integrale
K = K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ , K ′ ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − ( 1 − k 2 ) sin 2 φ {\displaystyle K=K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\mbox{ }}K'(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}} zusammen. So hat sn {\displaystyle \operatorname {sn} } beispielsweise Nullstellen bei z = 0 {\displaystyle z=0} und z = 2 K {\displaystyle z=2K} sowie Polstellen bei z = i K ′ {\displaystyle z=\mathrm {i} \,K'} und z = 2 K + i K ′ {\displaystyle z=2K+\mathrm {i} \,K'} .
Speziell für k 2 = 1 / 2 {\displaystyle k^{2}=1/2} ergeben die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt:
sl ( z ) = 1 2 sn ( 2 z ; 1 2 ) / dn ( 2 z ; 1 2 ) , cl ( z ) = cn ( 2 z ; 1 2 ) . {\displaystyle \textstyle \operatorname {sl} (z)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}})/\operatorname {dn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}),\qquad \textstyle \operatorname {cl} (z)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}).} Für die Grenzfälle k = 0 {\displaystyle k=0} und k = 1 {\displaystyle k=1} ergeben die Jacobi-Funktionen die (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen :
Funktion k =0 k =1 sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} sin z {\displaystyle \sin z} tanh z {\displaystyle \tanh z} cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} cos z {\displaystyle \cos z} sech z = 1 cosh z {\displaystyle \operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}} dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} 1 {\displaystyle 1} sech z = 1 cosh z {\displaystyle \operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}}
Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen. Die meisten von diesen Definitionen basieren auf unendlichen Summen oder Produkten von Kombinationen aus dem vollständigen elliptischen Integral erster Art und trigonometrischen Funktionen herleiten. Die namentlichen Bezeichnungen mit dem Wort Amplitudinis als Genitiv des lateinischen Wortes Amplitudo basieren auf der Tatsache, dass die drei Hauptfunktionen einmal der Sinus, einmal der Cosinus und einmal der Differentialquotient der Jacobischen Amplitude sind. Die Kürzel aus jeweils zwei Buchstaben kommen dadurch zustande, dass sie die jeweiligen Quotienten der korrespondierenden Nevilleschen Thetafunktionen mit den jeweiligen Buchstaben als Fußbezeichnungen sind. Beispielsweise gilt:
sn ( z ; k ) = θ s ( z ; k ) θ n ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {\theta _{s}(z;k)}{\theta _{n}(z;k)}}} cd ( z ; k ) = θ c ( z ; k ) θ d ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cd} (z;k)={\frac {\theta _{c}(z;k)}{\theta _{d}(z;k)}}}
Hilfskonstruktion Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul k {\displaystyle k} mit 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen K {\displaystyle K} und K ′ {\displaystyle K'} mit
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ , K ′ ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − ( 1 − k 2 ) sin 2 φ . {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},\\K'(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}.\end{aligned}}} Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen K {\displaystyle K} und K ′ {\displaystyle K'} in der komplexen Ebene mit den Ecken s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} gegeben, dessen Ecke s {\displaystyle s} im Ursprung liege. Die Seiten der Länge K {\displaystyle K} seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge K ′ {\displaystyle K'} parallel zur imaginären Achse. Die Ecke c {\displaystyle c} sei der Punkt K , d {\displaystyle K,d} der Punkt K + i K ′ {\displaystyle K+iK'} und n {\displaystyle n} der Punkt i K ′ {\displaystyle iK'} auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination p q {\displaystyle pq} , wobei p {\displaystyle p} und q ≠ p {\displaystyle q\neq p} jeweils einer der Buchstaben s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} sind.
Eine Jacobische elliptische Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} ist dann die eindeutige doppelt-periodische meromorphe Funktion, die folgende drei Eigenschaften erfüllt:
Die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} hat bei p {\displaystyle p} eine einfache Nullstelle und bei q {\displaystyle q} eine einfache Polstelle. Die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} ist periodisch in Richtung p − q {\displaystyle p-q} , wobei die Periode die doppelte Entfernung von p {\displaystyle p} nach q {\displaystyle q} ist. Ähnlich ist pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von p {\displaystyle p} zu dem anderen Punkt entspricht. Wird die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} um den Eckpunkt p {\displaystyle p} entwickelt , so lautet der führende Term einfach z {\displaystyle z} (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt q {\displaystyle q} ist 1 / z {\displaystyle 1/z} , und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1. Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei k {\displaystyle k} ein gegebener Parameter mit 0 ≤ k < 1 {\displaystyle 0\leq k<1} , und sei diese Formel gültig:
z ( ϕ ) = ∫ 0 ϕ d θ 1 − k 2 sin 2 θ = F ( ϕ ; k ) {\displaystyle z(\phi )=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \,\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=F(\phi ;k)} Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen sn , cn {\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} } und dn {\displaystyle \operatorname {dn} } durch jene Formeln gegeben:
sn ( z ; k ) = sin ϕ , {\displaystyle \operatorname {sn} \;(z;k)=\sin \phi ,} cn ( z ; k ) = cos ϕ {\displaystyle \operatorname {cn} \;(z;k)=\cos \phi } und
dn ( z ; k ) = 1 − k 2 sin 2 ϕ . {\displaystyle \operatorname {dn} \;(z;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}.} Der Winkel ϕ = ϕ ( z ) = am ( z ; k ) {\displaystyle \phi =\phi (z)=\operatorname {am} (z;k)} ist dabei die Jacobi-Amplitude, dn z = Δ ( z ) {\displaystyle \operatorname {dn} \;z=\Delta (z)} heißt Delta-Amplitude . Es gilt insgesamt:
F [ am ( z ; k ) ; k ] = z {\displaystyle F[\operatorname {am} (z;k);k]=z} sn ( z ; k ) = sin [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)=\sin[\operatorname {am} (z;k)]} cn ( z ; k ) = cos [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\cos[\operatorname {am} (z;k)]} dn ( z ; k ) = ∂ ∂ z am ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\partial }{\partial z}}\operatorname {am} (z;k)} Die Bezeichnung „Delta Amplitudinis“ zeugt von der Tatsache, dass diese Funktion die Ableitung beziehungsweise der Differentialquotient der Jacobi-Amplitude ist.
Ferner genügt der freie Parameter k {\displaystyle k} der Ungleichung 0 ≤ k 2 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq k^{2}\leq 1} . Für ϕ = π / 2 {\displaystyle \phi =\pi /2} ist z {\displaystyle z} die Viertelperiode K {\displaystyle K} .
Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.
So ist die Ramanujansche Thetafunktion ϑ R {\displaystyle \vartheta _{R}} definiert:
ϑ R ( v ; w ) = ∑ n = − ∞ ∞ v n ( n + 1 ) / 2 w n ( n − 1 ) / 2 = ∑ n = − ∞ ∞ v △ ( n ) w △ ( n − 1 ) {\displaystyle \vartheta _{R}(v;w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{n(n+1)/2}\,w^{n(n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{\bigtriangleup (n)}\,w^{\bigtriangleup (n-1)}} Darauf basierend kann die Nevillesche Thetafunktion θ d {\displaystyle \theta _{d}} definiert werden:
θ d ( z ; k ) = ( π 2 ) 1 / 2 K ′ ( k ) − 1 / 2 exp [ − π z 2 4 K ( k ) K ′ ( k ) ] ϑ R { exp [ π z − K ( k ) K ′ ( k ) ] ; exp [ π − z − K ( k ) K ′ ( k ) ] } {\displaystyle \theta _{d}(z;k)={\bigl (}{\frac {\pi }{2}}{\bigr )}^{1/2}K'(k)^{-1/2}\exp {\biggl [}-{\frac {\pi \,z^{2}}{4\,K(k)\,K'(k)}}{\biggr ]}\vartheta _{R}{\biggl \{}\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]};\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {-z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]}{\biggr \}}} Durch Reflexion kann dann auch die Nevillesche Thetafunktion θ d {\displaystyle \theta _{d}} sukzessiv definiert werden:
θ n ( z ; k ) = ( 1 − k 2 ) − 1 / 4 θ d [ K ( k ) − z ; k ] {\displaystyle \theta _{n}(z;k)=(1-k^{2})^{-1/4}\theta _{d}{\bigl [}K(k)-z;k{\bigr ]}} Nach der oben genannten Beschreibung kann bereits darauf basierend das Delta Amplitudinis unter den Jacobischen Amplitudenfunktionen definiert werden:
dn ( z ; k ) = θ d ( z ; k ) θ n ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\theta _{d}(z;k)}{\theta _{n}(z;k)}}} Durch Bildung der ursprünglichen Stammfunktion bezüglich des linken Klammereintrags kommt dann die Jacobische Amplitude hervor:
am ( z ; k ) = ∫ 0 z dn ( t ; k ) d t = ∫ 0 1 z dn ( y z ; k ) d y {\displaystyle \operatorname {am} (z;k)=\int _{0}^{z}\operatorname {dn} (t;k)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}z\operatorname {dn} (yz;k)\,\mathrm {d} y} Direkt daraus folgen erneut die Definitionen von Sinus Amplitudinis und Cosinus Amplitudinis nach dem bereits genannten Muster:
sn ( z ; k ) = sin [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)=\sin[\operatorname {am} (z;k)]} cn ( z ; k ) = cos [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\cos[\operatorname {am} (z;k)]} Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Jacobischen Thetafuniktionen :
Wenn der Modul k {\displaystyle k} reell ist und die Ungleichung 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} gilt, dann gelten folgende Formeln[1] für die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen:
sn ( z ; k ) = ϑ 10 { 1 2 π [ 1 − K ( k ) − 1 z ] ; q ( k ) } | k | ϑ 00 { 1 2 π [ 1 − K ( k ) − 1 z ] ; q ( k ) } {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {\vartheta _{10}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{00}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}}} cn ( z ; k ) = 1 − k 2 4 ϑ 10 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] | k | ϑ 01 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{10}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}} dn ( z ; k ) = 1 − k 2 4 ϑ 00 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] ϑ 01 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}} Hierbei ist die Formel für das Delta Amplitudinis für das gesamte Intervall ]-1;1[ gültig.
Für das vollständige elliptische Integral erster Art gilt:
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}} Die Funktion q(k) ist das sogenannte elliptische Nomen von k:
q ( k ) = exp [ − π K ( 1 − k 2 ) K ( k ) − 1 ] {\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]} Die Thetafunktionswerte können auf diese Weise berechnet werden:
ϑ 00 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]} ϑ 01 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 − 2 cos ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]} ϑ 10 ( x ; y ) = 2 y 1 / 4 cos ( x ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ( 2 x ) y 2 n + y 4 n ] {\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]} Die Mathematiker George Neville Watson und Edmund Taylor Whittaker stellten diese Definitionen in ihrem Werk A Course in modern Analysis [2] [3] [4] auf.
Die Seiten 469 bis 470 in der vierten Auflage dieses Werkes enthalten diese Formeln.
Auch die Jacobische Zetafunktion kann zur Definition der Jacobifunktionen sn, cn und dn verwendet werden:
sn ( z ; k ) = 2 { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } k 2 + { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}} dn ( z ; k ) = k 2 − { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 k 2 + { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}} Der Grenzwert dieses Bruchs für k {\displaystyle k} gegen 0⁺ ergibt den Kreissinus. Und der Grenzwert dieses Bruchs für k {\displaystyle k} gegen 1 ergibt den Tangens Hyperbolicus. Auf diesem Definitionsweg dient folgende Formel für die Zetafunktion zn als definierende Grundlage:
zn ( x ; k ) = ∑ n = 1 ∞ 2 π K ( k ) − 1 sin [ π K ( k ) − 1 x ] q ( k ) 2 n − 1 1 − 2 cos [ π K ( k ) − 1 x ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}} Sukzessiv wird der Cosinus Amplitudinis dann so definiert:
cn ( z ; k ) = sn [ K ( k ) − z ; k ] dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\operatorname {sn} [K(k)-z;k]\operatorname {dn} (z;k)} Wichtiger Hinweis für die Grenzwertbildung:
lim k → 1 zn ( 1 2 z ; k ) = zn ( 1 2 z ; 1 ) = tanh ( 1 2 z ) {\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)=\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;1)=\tanh({\tfrac {1}{2}}z)} Jedoch gilt:
lim k → 1 zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] = 0 ≠ tanh [ K ( 1 ) ] {\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]=0\neq \tanh[K(1)]} Für diese Definitionen der Amplitudenfunktionen werden zuerst das reduzierte vollständige elliptische Integral erster Art und das reduzierte elliptische Nomen definiert:
K ¯ ( k ) = 2 π K ( k ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ CBC ( n ) 2 16 n k 2 n {\displaystyle {\bar {K}}(k)={\frac {2}{\pi }}K(k)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}} q ¯ ( k ) = k − 2 q ( k ) 4 = 1 2 + [ ∑ n = 1 ∞ Sc ( n + 1 ) 2 4 n + 1 k 2 n ] {\displaystyle {\bar {q}}(k)={\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}} Dabei steht C B C {\displaystyle \mathrm {CBC} } für den Zentralbinomialkoeffizient und mit der Kennzeichnung S c {\displaystyle \mathrm {Sc} } steht für die Schellbachsche Zahlenfolge ausgedrückt.
Die Gebrüder Borwein gaben in ihrem Werk π and the AGM auf Seite 60 auch folgende Formel für den Sinus amplitudinis an:
sn ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 sin [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ q ( k ) n − 1 [ 1 + q ( k ) 2 n − 1 ] 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
sn ( u ; k ) = 2 q ¯ ( k ) sin [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 − 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Analog gilt für die cd-Funktion diese definierende Formel, welche direkt durch die innere Substitution z → K ( k ) − z {\displaystyle z\rightarrow K(k)-z} hervorgeht:
cd ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ q ( k ) n − 1 [ 1 + q ( k ) 2 n − 1 ] 1 + 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
cd ( u ; k ) = 2 q ¯ ( k ) cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 + 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Diese Formeln basieren auf der Definition der Theta-Nichtnullwertfunktionen nach Whittaker und Watson.
Diese Formeln[5] gelten für den Cosinus Amplitudinis:
cn ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 q ( k ) n − 1 [ 1 − q ( k ) 2 n − 1 ] 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}q(k)^{n-1}[1-q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
cn ( u ; k ) = 2 1 − k 2 4 q ¯ ( k ) cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=2\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Weiter gilt nach den Whittaker-Watson-Produktformeln diese Formel für die Delta-Amplitudinis-Funktion:
dn ( u ; k ) = 1 − k 2 4 ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 1 − 2 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}} Mit einer Sekans-Hyperbolicus-Summe ist eine Definition[6] für das Delta Amplitudinis möglich:
dn ( z ; k ) = π 2 K ( 1 − k 2 ) ∑ n = − ∞ ∞ sech { π K ( 1 − k 2 ) − 1 [ K ( k ) n + 1 2 z ] } {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\bigl \{}\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\bigl [}K(k)n+{\tfrac {1}{2}}z{\bigr ]}{\bigr \}}} Mit dem elliptischen Nomen (auf engl. nome ) q = exp ( − π K ′ / K ) {\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)} und dem Argument v = π u / ( 2 K ( k ) ) {\displaystyle v=\pi u/(2K(k))} können die Funktionen in eine Lambert-Reihe entwickelt werden:
sn ( u ; k ) = 2 π K ( k ) m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 − q 2 n + 1 sin ( ( 2 n + 1 ) v ) {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)={\frac {2\pi }{K(k){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v)} cn ( u ; k ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 + q 2 n + 1 cos ( ( 2 n + 1 ) v ) {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v)} dn ( u ; k ) = π 2 K + 2 π K ∑ n = 1 ∞ q n 1 + q 2 n cos ( 2 n v ) {\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv)} Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:
ns ( z ; k ) = 1 / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {ns} (z;k)=1/\operatorname {sn} (z;k)} nc ( z ; k ) = 1 / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {nc} (z;k)=1/\operatorname {cn} (z;k)} nd ( z ; k ) = 1 / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {nd} (z;k)=1/\operatorname {dn} (z;k)} Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:
sc ( z ; k ) = sn ( z ; k ) / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)} sd ( z ; k ) = sn ( z ; k ) / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sd} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)} dc ( z ; k ) = dn ( z ; k ) / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dc} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)} ds ( z ; k ) = dn ( z ; k ) / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {ds} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)} cs ( z ; k ) = cn ( z ; k ) / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cs} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)} cd ( z ; k ) = cn ( z ; k ) / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cd} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)} Verkürzt können wir also schreiben
pq ( z ; k ) = pr ( z ; k ) qr ( z ; k ) , {\displaystyle \operatorname {pq} (z;k)={\frac {\operatorname {pr} (z;k)}{\operatorname {qr} (z;k)}},} wobei p , q {\displaystyle p,q} und r {\displaystyle r} jeweils einer der Buchstaben s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} sind und s s = c c = d d = n n = 1 {\displaystyle ss=cc=dd=nn=1} gesetzt wird.
Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen
cn 2 + sn 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1} dn 2 + k 2 sn 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1} Somit parametrisieren ( c n , s n , d n ) {\displaystyle (\operatorname {cn,sn,dn} )} eine elliptische Kurve , die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:
sn ( x + y ; k ) = sn ( x ; k ) cn ( y ; k ) dn ( y ; k ) + sn ( y ; k ) cn ( x ; k ) dn ( x ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x+y;k)={\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)\;\operatorname {dn} (y;k)+\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {dn} (x;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} cn ( x + y ; k ) = cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) − sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (x+y;k)={\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)-\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} dn ( x + y ; k ) = dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) − k 2 sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (x+y;k)={\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} Der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach nannte diese Additionstheoreme in seinem Werk Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Funktionen [7] auf der Seite 168. Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:
sn ( x / 2 + y / 2 ; k ) 2 = 1 + sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) − cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) 1 + k 2 sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) + dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x/2+y/2;k)^{2}={\frac {1+\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)-\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)}{1+k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)+\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)}}} Durch Zusatz der Funktion cd ( x ; k ) = cn ( x ; k ) / dn ( x ; k ) = sn [ K ( k ) − x ; k ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {cn} (x;k)/\operatorname {dn} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]} kann auch folgendes Paar an Theoremen formuliert werden:
sn ( x + y ; k ) = sn ( x ; k ) cd ( y ; k ) + cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) 1 + k 2 sn ( x ; k ) cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) cd ( y ; k ) {\displaystyle {\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x+y;k)={\frac {{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)+{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)}{1+k^{2}\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)}}} cd ( x + y ; k ) = cd ( x ; k ) cd ( y ; k ) − sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) 1 − k 2 sn ( x ; k ) cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) cd ( y ; k ) {\displaystyle {\color {blue}\operatorname {cd} }(x+y;k)={\frac {{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)-{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)}{1-k^{2}\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)}}}
Somit gebraucht dieses Paar an Theoremen nur zwei von den Jacobischen Funktionen, damit auf diese Weise die Werte der betroffenen Funktionen durch Kombination der Theoreme ermittelt werden können. Dieselben Additionstheoreme können mit Hilfe des Areatangens Hyperbolicus hervorgebracht werden:
artanh [ k sn ( x + y ; k ) ] = artanh [ k sn ( x ; k ) cd ( y ; k ) ] + artanh [ k cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}+\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}} artanh [ k cd ( x + y ; k ) ] = artanh [ k cd ( x ; k ) cd ( y ; k ) ] − artanh [ k sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}-\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}} Im Folgenden werden die Tangensaddition und Tangenssubtraktion definiert:
a ⊕ b = tan [ arctan ( a ) + arctan ( b ) ] = a + b 1 − a b {\displaystyle a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}} c ⊖ d = tan [ arctan ( c ) − arctan ( d ) ] = c − d 1 + c d {\displaystyle c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}} Das Theorem für den Tangens Amplitudinis sc {\displaystyle \operatorname {sc} } kann sehr leicht über die trigonometrische Tangenssumme beziehungsweise Tangensdifferenz dargestellt werden:
sc ( x + y ; k ) = sc ( x ; k ) dn ( y ; k ) ⊕ sc ( y ; k ) dn ( x ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (x+y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\oplus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)} sc ( x − y ; k ) = sc ( x ; k ) dn ( y ; k ) ⊖ sc ( y ; k ) dn ( x ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (x-y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\ominus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)}
Die Jacobi-Funktionen eines Moduls können stets durch Jacobi-Funktionen eines anderen Moduls dargestellt werden, welcher mit dem ursprünglichen Modul elliptisch verwandt ist. Zwei elliptische Module a und b sind genau dann miteinander elliptisch verwandt, wenn sie folgende Formel erfüllen:
K ( a ) K ′ ( b ) K ( b ) K ′ ( a ) ∈ Q + {\displaystyle {\frac {K(a)K'(b)}{K(b)K'(a)}}\in \mathbb {Q^{+}} } In der Ausdrucksform der Elliptischen Lambdafunktion sind somit die elliptischen Module λ*(w) und λ*(v²w) mit v ∈ ℚ\0 miteinander elliptisch verwandt.
Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(4w):
sn ( x ; k ) = 2 ( 1 + 1 − k 2 ) sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)={\frac {2(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} dn ( x ; k ) = ( 1 + 1 − k 2 ) 2 − k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} cn ( x ; k ) = ( 1 + 1 − k 2 ) 2 cn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] dn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} Somit gilt auch:
sc ( x ; k ) = 2 sc [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) dn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] {\displaystyle \operatorname {sc} (x;k)={\frac {2\operatorname {sc} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}} Außerdem gilt diese Summentransformation:
cd ( x ; k ) + cn ( x ; k ) = sn [ ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)+\operatorname {cn} (x;k)={\frac {\operatorname {sn} [(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}} Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(9w):
artanh [ sn ( x ; k ) ] = artanh ⟨ sn { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ + 2 artanh ⟨ k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 sn { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {sn} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }} artanh [ cd ( x ; k ) ] = artanh ⟨ cd { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ + 2 artanh ⟨ k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 cd { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {cd} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }} Die Funktion stellt den Bagisschen Thetaquotienten für die Stufe n = 3 dar. Es gilt grundsätzlich:
M B n ( k ) = ϑ 00 [ q ( k ) n ] ϑ 00 [ q ( k ) ] {\displaystyle M_{Bn}(k)={\frac {\vartheta _{00}[q(k)^{n}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}} Für die genannte Stufe n = 3 gilt außerdem speziell diese Formel:
M B 3 ( k ) = 3 − 1 / 2 { 2 dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] + 1 } 1 / 2 = 3 − 1 / 2 { 2 ns [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 } 1 / 2 {\displaystyle M_{B3}(k)=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}+1{\bigr \}}^{1/2}=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {ns} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1{\bigr \}}^{1/2}} Sie wurden von dem griechischen Mathematiker Nikolaos Bagis erforscht. Er führte für diese Funktionen die Bezeichnung mit dem Buchstaben M ein. So gebrauchte er diese Bezeichnung beispielsweise in abgewandelter Form in seinem Werk The complete evaluation of Rogers Ramanujan and other continued fractions with elliptic functions und in weiteren Aufsätzen.
Rechenhinweise:
k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 − 2 k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 + 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 = 0 {\displaystyle k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{4}-2k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{3}+2{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}-1=0} dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 − 1 {\displaystyle \operatorname {dn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{-1}-1} sn [ 2 3 K ( k ) ; k ] 2 = { 1 − sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 2 } { 1 − k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 2 } − 1 {\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}=\{1-{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}\{1-k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}^{-1}} − dn 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = − k 2 cn 2 ( z ; k ) = k 2 sn 2 ( z ; k ) − k 2 − k ′ 2 nd 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = − k 2 k ′ 2 sd 2 ( z ; k ) = k 2 cd 2 ( z ; k ) − k 2 k ′ 2 sc 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = k ′ 2 nc 2 ( z ; k ) = dc 2 ( z ; k ) − k 2 cs 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = ds 2 ( z ; k ) = ns 2 ( z ; k ) − k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-\operatorname {dn} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad -k^{2}\;\operatorname {cn} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(z;k)-k^{2}\\-{k'}^{2}\;\operatorname {nd} ^{2}(z;k)+k'^{2}&\quad =\qquad -k^{2}{k'}^{2}\;\operatorname {sd} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {cd} ^{2}(z;k)-k^{2}\\{k'}^{2}\;\operatorname {sc} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad {k'}^{2}\;\operatorname {nc} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {dc} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\operatorname {cs} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad \operatorname {ds} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {ns} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\end{aligned}}} mit k 2 + k ′ 2 = 1 {\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1} . Weitere quadratische Beziehungen können mit pq 2 ⋅ qp 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1} und pq = pr / qr {\displaystyle \operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr} } gebildet werden, wobei p , q {\displaystyle p,q} und r {\displaystyle r} jeweils einer der Buchstaben s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} sind und s s = c c = d d = n n = 1 {\displaystyle ss=cc=dd=nn=1} gesetzt wird.
Diese Formeln stellen die Beziehungen der Jacobi-Funktionswerte für verdoppelte und verdreifachte Werte dar:
sn ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) = cd ( x ; k ) [ 1 − cn ( 2 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {cd} (x;k)[1-\operatorname {cn} (2x;k)]} cd ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) = sn ( x ; k ) [ 1 + cn ( 2 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {sn} (x;k)[1+\operatorname {cn} (2x;k)]} cn ( x ; k ) − cn ( 3 x ; k ) = sn ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) [ dn ( x ; k ) + dn ( 3 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)-\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]} cn ( x ; k ) + cn ( 3 x ; k ) = cd ( x ; k ) cd ( 2 x ; k ) [ dn ( x ; k ) + dn ( 3 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)+\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]} sn ( 2 x ; k ) 2 − sn ( x ; k ) 2 = sn ( x ; k ) sn ( 3 x ; k ) [ 1 − k 2 sn ( x ; k ) 2 sn ( 2 x ; k ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sn} (2x;k)^{2}-\operatorname {sn} (x;k)^{2}=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]} cd ( x ; k ) 2 − sn ( 2 x ; k ) 2 = cd ( x ; k ) cd ( 3 x ; k ) [ 1 − k 2 cd ( x ; k ) 2 sn ( 2 x ; k ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)^{2}-\operatorname {sn} (2x;k)^{2}=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {cd} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]} Mit den Additionstheoremen können folgende Beziehungen hergeleitet werden:
sn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 2 1 + k + 1 − k = 1 2 2 sec [ 1 2 arcsin ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\sec {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k){\bigr ]}} cn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 2 1 − k 2 4 1 + k + 1 − k = 1 2 2 sech [ 1 2 artanh ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {sech} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (k){\bigr ]}} dn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = cs [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 1 − k 2 4 {\displaystyle \operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cs} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}
Für die Bestimmung der Amplituden-Funktionswerte vom Drittel des K-Integrals ist eine Quartische Gleichung zu lösen, welche den biquadratisch radikalen Ausdruck aus einem kubisch radikalen Ausdruck bezüglich des Moduls liefert:
k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 − 2 k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 + 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 = 0 {\displaystyle k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}-2k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}+2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1=0} sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] + cn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = 1 {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1} sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = cn [ 2 3 K ( k ) ; k ] {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}} Alternativ zum Auflösen des genannten quartischen Gleichungsausdrucks kann auch folgendes Paar an Parameterformeln verwendet werden:
sn ⟨ 1 3 K { tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] } ; tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] ⟩ = tanh { 1 2 ln [ 2 x 4 − x 2 + 1 − x 2 + 2 + x 2 + 1 ] } {\displaystyle \operatorname {sn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {tanh} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}} cn ⟨ 1 3 K { tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] } ; tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] ⟩ = sech { 1 2 ln [ 2 x 4 − x 2 + 1 − x 2 + 2 + x 2 + 1 ] } {\displaystyle \operatorname {cn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {sech} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}}
Für Tangenshalbierung ist diese Formel gültig:
tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] = x 3 x 6 + 1 + 1 {\displaystyle \tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}={\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}} Das bedeutet, dass man am elliptischen Modul k {\displaystyle k} eine Tangensverdopplung und dann eine kubische Radizierung durchführen muss, um auf den soeben gezeigten Wert x {\displaystyle x} zu kommen.
Die Werte für die Fünfteilung vom vollständigen elliptischen Integral K {\displaystyle K} können vereinfacht mit den reduzierten Weberschen Modulfunktionen vom Index 5 dargestellt werden. Die reduzierten Weberschen Funktion kann wie folgt definiert werden:
Definitionen und Identitäten von w und W Kleine reduzierte Webersche Funktion Große reduzierte Webersche Funktion w R 5 ( k ) = 2 [ q ( k ) 5 ; q ( k ) 10 ] ∞ [ q ( k ) ; q ( k ) 2 ] ∞ 5 = 5 ϑ 01 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 01 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }}{[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}} W R 5 ( k ) = 2 [ q ( k ) 10 ; q ( k ) 20 ] ∞ [ q ( k ) ; q ( k ) 2 ] ∞ 5 [ q ( k ) 5 ; q ( k ) 10 ] ∞ [ q ( k ) 2 ; q ( k ) 4 ] ∞ 5 = 5 ϑ 00 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 00 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{10};q(k)^{20}]_{\infty }\,[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}{[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }\,[q(k)^{2};q(k)^{4}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}} w R 5 ( k ) = nc [ 4 5 K ( k ) ; k ] − nc [ 2 5 K ( k ) ; k ] {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)=\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}-\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}}} W R 5 ( k ) = dn [ 2 5 K ( k ) ; k ] + dn [ 4 5 K ( k ) ; k ] {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)=\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}}} w R 5 ( k ) = 2 1 − k 2 sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] 2 sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2}{1-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}}} W R 5 ( k ) = 2 − 2 k 2 1 − k 2 + k 2 cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] 2 cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2-2k^{2}}{1-k^{2}+k^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}} w R 5 ( k ) = 2 sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] 2 − sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}}}}} W R 5 ( k ) = 2 cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] 2 − cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}}
In jeder dieser beiden Spalten der Tabelle sind die genannten Formeln jeweils alle vier identisch. Für die Ermittlung der Werte sn, cn und dn von den Fünfteln des vollständigen elliptischen Integrals K {\displaystyle K} sollen zuerst die Werte w {\displaystyle w} und W {\displaystyle W} in Abhängigkeit vom elliptischen Modul k {\displaystyle k} über Gleichungen sechsten Grades berechnet werden und anschließend sollen die Werte w {\displaystyle w} und W {\displaystyle W} algebraisch miteinander verknüpft werden, so dass die Werte sn, cn und dn hervorgerufen werden.
Man kann auch sehr effizient von der Funktion w R 5 {\displaystyle w_{R5}} auf die Funktion W R 5 {\displaystyle W_{R5}} sukzessiv mit diesen Formeln schließen:
W R 5 ( k ) = 5 ϑ 00 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 00 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 = 2 w R 5 ( k ) − 1 w R 5 [ k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] = {\displaystyle W_{R5}(k)={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=2\,w_{R5}(k)^{-1}w_{R5}{\bigl [}k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=} = w R 5 ( k ) − 2 { [ 2 w R