Loi demi-normale |
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Paramètres | |
Support | |
Densité de probabilité | |
Fonction de répartition | |
Espérance | |
Variance | |
Entropie | |
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée.
Soit
une variable aléatoire de loi normale centrée,
, alors
est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et
.
La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :
![{\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3baeb84642debeb53b121c0e1f1f9867d78e123)
L'espérance est :
.
En faisant le changement de variable :
, utile lorsque
est proche de zéro, la densité prend la forme :
![{\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed5f98805ba502047893a5f9231b9c434292811)
L'espérance est alors :
.
La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :
![{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d2dc4163af941c54152559ae339fd4d9a6213)
En utilisant le changement de variable
, la fonction de répartition peut s'écrire
![{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}}\left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96f259a4dd6049e2cedaa18ea74b3d687903509)
où erf est la fonction d'erreur.
La variance est :
![{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628c0ee961e9b424ce765a5f8e8f431562737e83)
Puisqu'elle est proportionnelle à la variance
de X,
peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.
L'entropie de la loi demi-normale est
![{\displaystyle H(Y)={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10089695ae80db95325f4b7574c9d46a919f5ef)
- La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
suit une loi du χ² à un degré de liberté.