ウェルチのt検定

この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月） 翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Welch's t-test|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。

統計学において、ウェルチのt検定（ウェルチのtけんてい、英: Welch's t test）は、2標本の位置の検定であり、2つの母集団が等しい平均を持つという仮説を検定するために用いられる。ウェルチ＝アスピン検定（Welch-Aspin Test）とも呼ばれる。スチューデントのt検定の改良型であり、非等分散を持つ可能性のある2つの標本に用いることが意図されている^[1]。ウェルチのt検定は、ベーレンス＝フィッシャー問題の近似解である。

ウェルチのt検定は統計量tを以下の式によって定義する。

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$、${\displaystyle s_{i}^{2}}$、${\displaystyle N_{i}}$はそれぞれ${\displaystyle i}$^thの標本平均、不偏分散、サンプルサイズである。スチューデントのt検定とは異なり、分母は推定された合併分散に基づかない。

この推定分散と関連した自由度${\displaystyle \nu }$は、ウェルチ-サタスウェイトの式を用いて近似される。

${\displaystyle \nu \approx {{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}\,}$

ここで${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$であり、自由度は${\displaystyle i}$^th推定分散と関連している。この自由度の式は、Welch (1938)^[2] の式(9)に見られる。

tおよび${\displaystyle \nu }$が計算されると、これらの統計量は、「2つの母集団の平均は等しい」（両側検定）という帰無仮説あるいは「母集団の一方の平均がもう一方よりも大きいあるいは等しい」（片側検定）という帰無仮説を検定するためにt分布と共に用いることができる。具体的には、この検定によって得られるp値は、帰無仮説を棄却あるいは採択するための十分な証拠を与える。

• Daniel Borcard, Lecture Note Appendix: t-test with Welch correction, excerpt from Legendre, P. and D. Borcard. Statistical comparison of univariate tests of homogeneity of variances.
• Sawilowsky, Shlomo S. (2002). “Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂”. Journal of Modern Applied Statistical Methods 1 (2): 461-472. http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1022&context=coe_tbf. 

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
カテゴリ