t検定

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t検定（ティーけんてい）とは、帰無仮説が正しいと仮定した場合に、統計量がt分布に従うことを利用する統計学的検定法の総称である。母集団が正規分布に従うと仮定するパラメトリック検定法であり、t分布が直接、もとの平均や標準偏差にはよらない（ただし自由度による）ことを利用している。2組の標本について平均に有意差があるかどうかの検定などに用いられる。統計的仮説検定の一つ。日本産業規格では、「検定統計量が，帰無仮説の下でt分布に従うことを仮定して行う統計的検定。」と定義している^[1]。

スチューデントのt検定（Student's t-test）とも呼ばれるが、これは統計学者のウィリアム・ゴセットが雇用者であるギネスビール社に本名使用を許されずStudent というペンネームで最初の論文を発表した（1908年）ためである。

t検定は大きく次のように分けられる。

• 2つの母集団がいずれも正規分布に従うと仮定したうえでの、平均が等しいかどうかの検定。
  • 標本が対になっている、つまり1組の標本のメンバー各々と、もう1組の特定のメンバーとの間に特別な関係がある場合（例えば、同じ人に前後2回調査する場合、夫と妻とで比較する場合など）。
  • 標本が独立で、比較する2つの群の分散が等しいと仮定できる場合（等分散性の仮定）。
  • 標本が独立で、等分散性が仮定できない（異分散）場合。これは正確にはウェルチのt検定と呼ばれる。
• 正規分布に従う母集団の平均が、特定の値に等しいかどうかの検定。
• 回帰直線の勾配が0と有意に異なるかどうかの検定。

母集団の平均値μが特定の値である μ₀と等しいかどうかの帰無仮説を検定する際に使用する。

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

${\displaystyle {\overline {x}}}$は標本平均でありsは 標本の標準偏差である。標本サイズはnであり、t検定における自由度はn − 1である。

次のような回帰分析のモデルを考える。

${\displaystyle Y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i},}$

x_i, i = 1, ..., nは既存の説明変数であり、αとβは未知の係数である。そしてε_iは独立に同一の正規分布に従った期待値0で未知の分散σ²であるランダムな誤差とする。Y_i, i = 1, ..., nは観測値である。この際、βがある特定の値β₀と等しいかどうかをテストしたい (多くの場合β₀は 0である。何故なら、βが0であればxとyに相関性が無いと言う事になり、0以外の値であればxとyは相関しているということになる)。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}&={\text{least-squares estimators}},\\SE_{\widehat {\alpha }},SE_{\widehat {\beta }}&={\text{the standard errors of least-squares estimators}}.\end{aligned}}}$

すると

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\widehat {\beta }}}}}$

帰無仮説が正しければ、この数値（t値という）は自由度がn − 2のt分布に従う。

${\displaystyle SE_{\widehat {\beta }}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\widehat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\varepsilon }}_{i}&=Y_{i}-{\widehat {y}}_{i}=Y_{i}-({\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSE}}&=\sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{i}^{\;2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

すると${\displaystyle t_{\text{score}}}$ は

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\widehat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {{\text{SSE}}/\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}}.}$

一つ目の母集団の平均値μ₁が2つ目の母集団の平均値μ₂と等しいかどうかの帰無仮説を検定する際に使用する。言い換えるとμ₁－μ₂＝0かどうかの帰無仮説を検定する。

実務的なデータ分析では、母集団が様々な前提を満たしているかどうかを調べるため、以下のような検定をt検定の前段階に行う場合がある。母集団が正規分布に従うかどうかは、コルモゴロフ-スミルノフ検定やシャピロ-ウィルク検定などの正規性検定によって判断することもできる。なお、F検定等により等分散性を検定し、その結果を踏まえてスチューデントのt検定またはウェルチのt検定を行う二段階の検定方法は、検定の多重性の問題が生じるため推奨されない。等分散性について考慮する必要のないウェルチのt検定を用いればよい（ウェルチのt検定は等分散性について頑健なので、事前に等分散性の検定を行う必要はない）。

比較する両群をX₁, ..., X_mおよびY₁, ..., Y_n（標本サイズはmおよびn）とする。両群から標本平均${\displaystyle {\overline {X}}}$および${\displaystyle {\overline {Y}}}$、ならびに不偏分散${\displaystyle U_{x}}$および${\displaystyle U_{y}}$を求める。両群を合わせた分散の推定値${\displaystyle U_{e}}$を

${\displaystyle U_{e}={\frac {(m-1)U_{x}+(n-1)U_{y}}{m+n-2}}}$

により算出する。

これから検定統計量t₀ を

${\displaystyle t_{0}={\frac {|{\overline {X}}-{\overline {Y}}|}{\sqrt {U_{e}\left({\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}\right)}}}}$

により算出する。両群の平均が等しい場合には「統計量T は自由度ν = m + n – 2 のt分布に従う」ので、これを帰無仮説として両側検定を行う。このt分布における${\displaystyle t_{0}}$の上側のp値を求め、有意水準αと比較する（あるいは数表で比較を行う）。p < α ならば帰無仮説は棄却され、「両群の平均には有意差がある」といえる。

前と同じ標本を対象とする。ウェルチのt検定は分散が等しい場合も等しくない場合も使用できる。

検定統計量t₀ を

${\displaystyle t_{0}={\frac {|{\overline {X}}-{\overline {Y}}|}{\sqrt {{\frac {U_{x}}{m}}+{\frac {U_{y}}{n}}}}}}$

により算出する。t分布の自由度νは、

${\displaystyle \nu ={\frac {({\frac {U_{x}}{m}}+{\frac {U_{y}}{n}})^{2}}{{\frac {U_{x}^{2}}{m^{2}(m-1)}}+{\frac {U_{y}^{2}}{n^{2}(n-1)}}}}}$

であるが、これは整数になるとは限らないので、10未満の場合は小数自由度のt分布表を利用する。10以上ならば小数部を切り捨て整数部のみを使用してよい。

n 対のデータがあるとし、対応する2変数をX_i とY_i 、両者の差をd_i = X_i - Y_i とする（i = 1, 2, ... , n）。d_i の平均を${\displaystyle {\overline {X}}_{D}}$とする。差の母集団の平均値μ_dが特定の値である μ₀と等しいかどうかの帰無仮説を検定する際に使用する。

検定統計量 t₀ を

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}}.}$

により算出する。t分布の自由度はν = n -1となる。

t検定は、母集団が正規分布をしており標本の分散がχ² 分布をしているという前提の下において、「完全に」正確な確率を計算することができる（ウェルチ検定では「ほぼ」正確な値を計算できる）。逆の言い方をすると、母集団が正規分布に従っていない場合は、標本平均はt値からは多かれ少なかれ乖離する。実務的に標本から母集団が正規分布をしているかどうかという事を判断する事は、色々な検定方法があるとは言うものの、非常に困難である。ただし、中心極限定理によると、母集団の分布が正規分布に従わない標本でさえも、標本サイズが大きくなればなるほど、標本平均は正規分布に近似していく。したがって、標本サイズが大きければ大きいほど、標準検定値である${\displaystyle {\frac {\bar {X}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$はZ値に近似することになる。このような基礎に基づくと、母集団が正規分布から完全に逸脱した分布に従っていて、標本サイズが十分に大きな場合（大学の初等の統計の教科書などではn > 30などと載っている場合があるが、もちろん多ければ多いほど良い）、Z検定で近似的な確率を計算できる。ただしt値は自由度が上がるとZ値に近似するため、計算上はt検定を用いてもほとんど大差ない結果を得られる（哲学的には異なるが）。それがt検定が頑強（robust）であると言われる所以である。

t検定は母集団の正規分布を前提とするパラメトリック検定であるが、この条件が満たされず、さらに標本サイズが小さいと、t検定で近似することも困難となる。そういった場合にはノンパラメトリック検定を用いる方法がある。ノンパラメトリック検定は汎用性を重視し、効率性を犠牲にしているというものの、場合によっては検出力（1 − β）がt検定に比べて高い。ただし、例えば正規分布の場合、最善はパラメトリック検定のt検定であるが、ノンパラメトリック検定のウィルコクソンの符号順位検定を用いても、必要なデータ数は ${\displaystyle \pi /3}$ = 約1.05 倍であり、5%程度多めに標本が必要なだけである^[2]。

• 標本が独立ならばマン・ホイットニーのU検定など
• 対になる標本ならばウィルコクソンの符号順位検定など

を用いることができる。ただしt検定やZ検定が母集団の平均値に注目して仮説を立てるのに対して、ノンパラメトリック検定ではランキング、中央値や分布などに注目して仮説を立てることに注意が必要。

t検定がマン・ホイットニーのU検定およびウィルコクソンの符号順位検定と比較して必要な標本数の比率^[3]。1未満はt検定の方が必要標本数が小さいことを意味する。

• 正規分布 - 0.9549
• 一様分布 - 1
• 両側指数分布 - 1.5
• ロジスティク分布 - 1.0966
• 指数分布 - 3
• 対数正規分布 - 7.3537
• ガンベル分布 - 1.2337
• 三角分布 - 0.8889
• この比率が最小となる分布 - 0.864

1900年ごろのビールは、酵母の数が正確に計測できなかったために、味が不安定だったと言われる。 発酵タンクの数はとても少なかった（小標本であった）にもかかわらず、正規分布をつかって推定していたため、精度が悪かった。 ゴセットはそれまでのデータを調べ上げ、平均からの偏差を不偏標準誤差で割った単純な値（t値）が、確率分布（t分布）に従うことを発見した。

• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 
• 伏見康治『確率論および統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。 
• 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html

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表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
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