一般化線形混合モデル

この項目では、一般化線形混合モデルについて説明しています。一般線形混合モデルについては「混合モデル」をご覧ください。

一般化線形混合モデル（いっぱんかせんけいこんごうモデル、英: Generalized linear mixed model, GLMM）とは、統計学において一般化線形モデルを拡張した統計解析モデルである。さらにこの一般化線形混合モデルを拡張し、事前分布に含まれる母数の事前分布を導入する場合には、階層ベイズモデルとみなされる。

• 固定効果に加えて変量効果を考慮している。変量効果は通常、正規分布を仮定される。変量効果の積分を含めて最尤法に基づき解を求めるが、一般に解析形式で式を表現することができない。そのため、数値積分やマルコフ連鎖モンテカルロ法等を用いて計算機により数値解析的に解を求める。コンピュータの高速化により実用化されてきている。

• 逆ロジット関数のようなリンク関数のほかにも、多くのリンク関数を用いて、ベルヌイ分布以外の確率分布に回帰式をリンクできることが利点である。

一般化線形混合モデルは、一般に、ランダム効果 ${\displaystyle u}$ を条件とする従属変数 ${\displaystyle y}$ が指数型分布族に従って分布し、その期待値がリンク関数 ${\displaystyle g}$ を介して線形予測子 ${\displaystyle X\beta +Zu}$ に関連する、として定義される。

${\displaystyle g\left(E\left[y\mid u\right]\right)=X\beta +Zu}$

ここで、${\displaystyle X}$ は固定効果 ${\displaystyle \beta }$ のデザイン行列、${\displaystyle Z}$ はランダム効果 ${\displaystyle u}$ のデザイン行列である。 この簡潔な定義を理解するためには、一般化線形モデルと混合モデルについての説明を参照のこと。 一般化線形混合モデルは、階層型一般化線形モデルのうち、ランダム効果の正規分布を仮定したものと考えることもできる。

完全尤度 ${\displaystyle \ln {p(y)}}$ は次式で表され、多くの場合、膨大な計算量が必要になる^[1]。

${\displaystyle \ln {p(y)}=\ln {\int p(y\mid u)\,p(u)\,du}}$

Gauss-Hermite 求積法などによる数値積分のほか、ラプラス近似を用いた方法も提案されている ^[2]。 罰則つき疑似尤度法（penalized quasi-likelihood method）は、重み付き正規混合モデルを作業変数で繰り返しフィッティングするものであり、多くの商用ないしオープンソースの統計プログラムで実装されている^[3]。

最尤法による一般化線形混合モデルのフィッティングにはランダム効果の積分が必要だが、一般的に、解析的な形では表現できない。様々な近似法が開発されたが、どんなモデルとデータセットにも上手く適用できるような方法はない。このため、計算能力の向上と手法の進歩により、数値積分やマルコフ連鎖モンテカルロ法が広く用いられるようになった。

モデル選択の基準としては、赤池情報量規準（AIC）が一般的である。最近、ある指数型分布族の分布に基づく、一般化線形混合モデルの AIC の推定値が得られた^[4]

• R言語^[5][6]
• SAS および SPSS^[7]
• MATLAB – 関数 fitglme で一般化線形混合モデルをフィッティング
• Python – Statsmodels パッケージ^[8]

• 一般化線形モデル
• 混合モデル
• 階層ベイズモデル

• Breslow, N.E.; Clayton, D.G. (1993). “Approximate Inference in Generalized Linear Mixed Models”. Journal of the American Statistical Association 88 (421): 9–25. doi:10.2307/2290687. JSTOR 2290687. 

• Fitzmaurice, Garrett M.; Laird, Nan M.; Ware, James H. (2004). Applied longitudinal analysis. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-21487-6 

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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