様々な単位球面 単位球面 （たんいきゅうめん、英 : unit sphere）とは、中心点からの距離 が1の点の集合である。なお、ここでの距離とは一般的な距離の概念である。一方、単位球 （たんいきゅう、英: unit ball）は、中心点からの距離が1以下の点の集合（閉単位球 (closed unit ball)）、あるいは1未満の点の集合（開単位球 (open unit ball)）である。通常、特に断らない限り、対象とする空間の原点 を中心点とする。したがって英語で何の前置きもなく "the" をつけて書かれている場合は、原点を中心点とする単位球面や単位球を指す。
単純に言い換えれば、単位球面は半径 が1の球面 であり、単位球は半径が1の球 である。任意の球面は平行移動と拡大・縮小によって単位球面に変換でき、この点が重要である。したがって、球面の研究は一般に単位球面を研究することに還元できる。
n 次元のユークリッド空間 では、単位球面を ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1} そして、閉単位球の全ての点の集合については、次の不等式 が成り立つ。
x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≤ 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1} 最初に、単位球面の古典的な式が半径1でx軸、y軸、z軸で違いがない楕円面の式となることは重要である。
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} n 次元ユークリッド空間の単位球の体積と単位球面の面積は、解析学 の様々な重要な方程式に出てくる。n 次元の単位球体の体積 V n ガンマ関数 を用いて書くことができる。
V n = π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = { π n / 2 / ( n / 2 ) ! if n ≥ 0 is even, π ⌊ n / 2 ⌋ 2 ⌈ n / 2 ⌉ / n ! ! if n ≥ 0 is odd, {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is even,}}\\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is odd,}}\end{cases}}} ここで n !! は二重階乗 であり、 ⌊ ⋅ ⌋ , ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor ,\lceil \cdot \rceil } 床関数と天井関数 である。
(n −1) 次元単位球面の超体積（すなわち n 次元単位球体の表面積）A n
A n = n V n = n π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) , {\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,} ただし最後の等号は n > 0 に対してのみ成り立つ。
いくつかの n {\displaystyle n}
n {\displaystyle n} A n {\displaystyle A_{n}} V n {\displaystyle V_{n}} 0 0 ( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}} 0 ( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}} 1 1 1 ( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}} 2 ( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}} 2 2 2 ( 1 / 1 ! ) π 1 = 2 π {\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi } 6.283 ( 1 / 1 ! ) π 1 = π {\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi } 3.141 3 3 ( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = 4 π {\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi } 12.57 ( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = ( 4 / 3 ) π {\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi } 4.189 4 4 ( 1 / 2 ! ) π 2 = 2 π 2 {\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}} 19.74 ( 1 / 2 ! ) π 2 = ( 1 / 2 ) π 2 {\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}} 4.935 5 5 ( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 3 ) π 2 {\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}} 26.32 ( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 15 ) π 2 {\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}} 5.264 6 6 ( 1 / 3 ! ) π 3 = π 3 {\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}} 31.01 ( 1 / 3 ! ) π 3 = ( 1 / 6 ) π 3 {\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}} 5.168 7 7 ( 2 4 / 7 ! ! ) π 3 = ( 16 / 15 ) π 3 {\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}} 33.07 ( 2 4 / 7 ! ! ) π 3 = ( 16 / 105 ) π 3 {\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}} 4.725 8 8 ( 1 / 4 ! ) π 4 = ( 1 / 3 ) π 4 {\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}} 32.47 ( 1 / 4 ! ) π 4 = ( 1 / 24 ) π 4 {\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}} 4.059 9 9 ( 2 5 / 9 ! ! ) π 4 = ( 32 / 105 ) π 4 {\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}} 29.69 ( 2 5 / 9 ! ! ) π 4 = ( 32 / 945 ) π 4 {\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}} 3.299 10 10 ( 1 / 5 ! ) π 5 = ( 1 / 12 ) π 5 {\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}} 25.50 ( 1 / 5 ! ) π 5 = ( 1 / 120 ) π 5 {\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}} 2.550
n ≥ 2 に対する小数は近似値である。
A n
A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} A 1 = 2 {\displaystyle A_{1}=2} A 2 = 2 π {\displaystyle A_{2}=2\pi } A n = 2 π n − 2 A n − 2 {\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}} n > 2 {\displaystyle n>2} V n
V 0 = 1 {\displaystyle V_{0}=1} V 1 = 2 {\displaystyle V_{1}=2} V n = 2 π n V n − 2 for n > 1 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}{\text{ for }}n>1} A n V n n > 0 の任意の実数について計算でき、非負整数以外の n についての球面の面積や球の体積が必要になる場合もある。
x 次元の球面の面積を x の連続関数として図示したグラフ -тут ошибка на графике, я по китайски не понимаюx 次元の球の体積を x の連続関数として図示したグラフn 次元の球面の表面積は、半径が r なら A n r n −1n 次元の球の体積は、半径が r なら V n r n r の3次元の球面の表面積は A = 4π r 2 r の3次元の球の体積は V = 4π r 3 / 3
ノルム線型空間 V {\displaystyle V} ノルム が ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 開単位球 (open unit ball) は次のように表される。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}} これは下記の (V ,||·||) における閉単位球 (closed unit ball) の内部 (interior) である。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}} 後者は前者の直和 であり、その共通する境界が (V ,||·||) における単位球面 である。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}} 単位球の形状は、どういうノルムを選択するかで大きく異なる。角のある形状になる場合もあり、例えば R n l ∞ を採用すると [−1,1]n ユークリッド距離 で有限次元の場合に一般的なヒルベルト空間 ノルムを採用した場合と理解できる。その境界がいわゆる単位球面となる。
これまでの定義は、選択した原点についての距離空間 で直接的に一般化できる。しかし位相幾何学的な概念（内部、閉包、境界）をそのまま適用する必要はない。一部の距離空間では、単位球面が空の場合もある。
線型空間 V に実数の二次形式 F :V → R があるとき、{ x ∈ V : F (x) = 1 } を V の単位球面 と呼ぶことがある。2次元の例として分解型複素数 と二元数 がある。F が負の値をとるとき、{x ∈ V : F (x) = − 1} を反球 (counter-sphere) と呼ぶ。
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