「数学記号 」はこの項目へ転送 されています。ウィキペディアにおける数式の書き方については「m:Help:Displaying a formula/ja|ヘルプ:数式の書き方」をご覧ください。
数学 的概念を記述する記号 を数学記号 という。数学記号は、数学上に抽象された概念を簡潔に表すためにしばしば用いられる。
数学記号が示す対象やその定義は、基本的にそれを用いる人に委ねられるため、同じ記号に見えても内容が異なっているということがあれば、逆に、異なって見える記号が同じ対象を示しているということもある[ 注 1]
以下の解説において、文字 P , Q , R 命題 を表すものとする。
記号 意味 解説 ∧ {\displaystyle \land } 論理積 、連言 (AND)「P ∧ Q P と命題 Q がともに真」という命題を表す。 ∨ {\displaystyle \lor } 論理和 、選言 (OR)「P ∨ Q P と命題 Q の少なくとも一方は真」という命題を表す。 ¬ {\displaystyle \neg } 否定 (NOT)「¬P 」は「命題 P が偽」という命題を表す。 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 論理包含 、含意 「P ⇒ Q P が真なら必ず命題 Q も真」という命題を表す。P が偽の場合は P ⇒ Q → {\displaystyle \rightarrow } ⇔ , iff , ≡ {\displaystyle \Leftrightarrow ,\ {\text{iff}},\ \equiv } 同値 「P ⇔Q P ≡Q P と Q の真偽が必ず一致することを意味する。iff は if and only if の略である。 ⊨ {\displaystyle \vDash } 論理的帰結 、伴意 主に意味論的な帰結関係に使われる。 「Γ ⊨ φ 」と書いて「有限個の論理式 Γ がすべて真であるなら、論理式 φ が真である」を意味する。 「M ⊨ ΓM において、Γ に属する論理式がすべて真である」を意味する。 「⊨ φ 」と書いて「（事前に定まっている理論の）任意のモデルにおいて、論理式 φ が真である」を意味する。 ⊢ {\displaystyle \vdash } 推論 主に形式的な帰結関係に使われる。「Γ ⊢ φ 」と書いて、有限個の論理式 Γ から、形式的に論理式 φ を推論できることを表す。 ∀ {\displaystyle \forall } 全称限量記号 しばしば ∀x ∈S (P (x )) のように書かれ、集合 S の任意 の元 x に対して命題 P (x ) ∃ {\displaystyle \exists } 存在限量記号 しばしば ∃x ∈S (P (x )) のように書かれ、集合 S の中に条件 P (x )x が少なくとも1つ存在することを表す。 ∃ 1 , ∃ 1 , ∃ ! {\displaystyle \exists _{1},\ \exists 1,\ \exists \,!} 一意的 に存在 しばしば ∃1 x ∈S (P (x )) のように書かれ、集合 S の中に条件 P (x )x が唯一つ存在 することを表す。他の記法も同様である。 ∴ {\displaystyle \therefore } 結論 文頭に記され、その文の主張が前述の内容を受けて述べられていることを示す。ゆえに。 ∵ {\displaystyle \because } 理由・根拠 文頭に記され、その文の内容が前述の内容の理由説明であることを示す。”なぜならば”。 := , :⇔ {\displaystyle :=,\ :\Leftrightarrow } 定義 「A ≔ X A という記号の意味するところを、X と定義することである。「A :⇔ X = {\displaystyle =} d e f {\displaystyle \mathrm {def} } △ {\displaystyle \bigtriangleup } = d e f , = △ {\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}},{\stackrel {\bigtriangleup }{=}}} :⇔ {\displaystyle \ :\Leftrightarrow } := {\displaystyle :=}
以下の解説において、S , T ∙ {\displaystyle \bullet }
記号 意味 解説 { : } , { ∣ } , { ; } {\displaystyle \{\ :\ \},\ \{\ \mid \ \},\ \{\ ;\ \}} 集合の内包的記法 （英語版 ） { (代表元) : (代表元の満たすべき条件)} のように用いる。例えば {x | x ∈ S , P (x )} は S の元のうち、命題 P (x ){x ∈ S | P (x )} のようにもしばしば略記される（「x ∈ S 無制限の内包 （英語版 ） 紛れのおそれがないので省略した のかは文脈を読むべきである）。 ∈ , ∋ , ∉ , ∌ {\displaystyle \in ,\ \ni ,\ \notin ,\ \not \ni } 集合に対する元の帰属関係 「x ∈S x が集合 S の元であることを意味する。「x ∉S x ∈S x が S の元でないことを意味する。 = {\displaystyle =} 集合の一致 「S = T S と集合 T が等しいことを示す。 ≠ {\displaystyle \neq } = {\displaystyle =} 「S ≠ T S と集合 T が等しくないことを示す。 ⊆ , ⊇ , ⊂ , ⊃ , {\displaystyle \subseteq ,\ \supseteq ,\ \subset ,\ \supset ,} ⊊ , ⊋ , ⊄ , ⊅ {\displaystyle \subsetneq ,\ \supsetneq ,\ \not \subset ,\ \not \supset } 集合の包含関係 「S ⊆ T S が T の部分集合 であることを意味する。必要に応じて「T ⊇ S ⊆ は S と T が等しい場合を含み、真部分集合 に対しては ⊊ が用いられる。⊂ は真部分集合 のみを指す流儀と、一般の部分集合を指す流儀がある。⊂ が一般の部分集合を表す場合には真部分集合を ⊊ によって表わし、⊂ が真部分集合を表す場合には一般の部分集合を ⊆ によって表わす。∈ と同様、⊄, ⊊ などの記号もある。
集合演算 記号 意味 解説 ∩ {\displaystyle \cap } 共通部分 「S ∩ T S と集合 T の共通部分を表す。また ⋂ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} 集合族 (S λ λ ∈Λ の共通部分を表す。 S := { S λ | λ ∈ Λ } {\displaystyle {\mathfrak {S}}:=\{S_{\lambda }\ |\ \lambda \in \Lambda \}} ⋂ S {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathfrak {S}}} ∪ {\displaystyle \cup } 和集合 「S ∪ T S と集合 T の和集合を表す。また、 ⋃ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} (S λ λ ∈Λ の和集合を表す。 S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} ⋃ S {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathfrak {S}}} + , {\displaystyle +,} ⊔ , ∐ {\displaystyle \sqcup ,\coprod } 非交和 集合 「 S ⊔ T {\displaystyle S\sqcup T} S ∪ T S ∩ T 空集合 であることを暗に述べている。 この場合、集合族の和集合は ∐ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \coprod \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }}
∖ , − {\displaystyle \setminus ,\ -} 差集合 「S ∖ T S から集合 T を除いた差集合を表す。「S −T ∙ c , ∁ ∙ {\displaystyle \bullet ^{\mathrm {c} },\ \complement \bullet } 補集合 S c S の補集合を表す。c は complement の略である。「 ∁ S {\displaystyle \complement S} 2 ∙ , P ( ∙ ) , P ( ∙ ) {\displaystyle 2^{\bullet },\ {\mathfrak {P}}(\bullet ),\ {\mathcal {P}}(\bullet )} 冪集合 2S は、S の部分集合をすべて集めた集合を表す。 P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)} ( ∙ , ∙ , … ) {\displaystyle (\bullet ,\bullet ,\dotsc )} 順序対 元の順序付けられた組 × , ∏ {\displaystyle \times ,\ \textstyle \prod } 直積集合 「S × T S と T の直積を表す。一般に、集合族 (S λ λ ∈Λ の直積を ∏ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} ∙ / ∙ {\displaystyle \bullet /\bullet } 商集合 「S /∼S の同値関係 ∼ によって定まる S の商集合を表す。 Map ( ∙ , ∙ ) , ∙ ∙ , F ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Map} (\bullet ,\bullet ),\ \bullet ^{\bullet },\ {\mathcal {F}}(\bullet ,\bullet )} 配置集合 Map(S , T ) や TS は S から T への写像をすべて集めた集合を表す。 △ , ⊖ {\displaystyle \triangle ,\ \ominus } 対称差 対称差 は、二つの集合に対し、一方には含まれるが他方には含まれない元をすべて集めた集合を表す: P △ Q := ( P ∪ Q ) ∖ ( P ∩ Q ) = ( P ∖ Q ) ∪ ( Q ∖ P ) {\displaystyle P\,\triangle \,Q:=(P\cup Q)\setminus (P\cap Q)=(P\setminus Q)\cup (Q\setminus P)}
写像 記号 意味 解説 f : ∙ → ∙ {\displaystyle f\colon \bullet \to \bullet } 写像 「f : S → T f が S から T への写像であることを示す。 ∙ ↦ ∙ {\displaystyle \bullet \mapsto \bullet } 元の対応 x ↦ f y {\displaystyle x\,{\stackrel {f}{\mapsto }}\,y} x を写像 f によって写したものが y であることを意味する。文脈上明らかであれば f の記述は省略される。 ∘ {\displaystyle \circ } 合成写像 「 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} g と写像 f の合成を表す。すなわち ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} Im , Image , ∙ [ ∙ ] {\displaystyle {\text{Im}},\ {\text{Image}},\ \bullet [\bullet ]} 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ : X → Y {\displaystyle \varphi \colon X\to Y} φ [ X ] {\displaystyle \varphi [X]}
二項関係演算 記号 意味 解説 = {\displaystyle =} 相等 x = y x と y が等しいことを表す。 ≠ {\displaystyle \neq } 不一致 x ≠ y x と y が等しくないことを表す。 ∼ , ≃ , ≈ , ≒ , ≓ {\displaystyle \sim ,\simeq ,\approx ,\fallingdotseq ,\risingdotseq } (等号#ほぼ等しい を参照)
ほぼ等しい 「x ≒ y x ≈ y x と y がほぼ等しいことを表す。記号 ≒ は日本など少数の地域でのみ通用し、≈ の方が標準的である。その他にも ∼, ≃, ≅ などを同様の意味で用いることもある。近似においてどのくらい違いを容認するかは文脈による。多くの場合、誤差 解析的な意味で用いられ、ある誤差の見積もりの下で両者が等しいことを示すが、そのほかにも漸近 解析においては漸近的に等しいという意味で用いられる。
順序構造 記号 意味 解説 < , > {\displaystyle <,>} 大小関係, 順序 「x < y 」は x と y の間に何らかの順序 が定まっていて、x の方が「先」であることを示す。必要に応じて「y > x 」とも書く。 ≤ , ≥ , ≦ , ≧ {\displaystyle \leq ,\ \geq ,\ \leqq ,\ \geqq } 大小関係, 順序 「x ≦ y x < y x = y x ≧ y ( ⋅ , ⋅ ) , ] ⋅ , ⋅ [ {\displaystyle (\cdot ,\cdot ),\ ]\cdot ,\cdot [} 開区間 (a, b ) は {x : a < x < b } を表す。 [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 閉区間 [a , b ] は {x : a ≦ x ≦ b } ( ⋅ , ⋅ ] , ] ⋅ , ⋅ ] , [ ⋅ , ⋅ ) , [ ⋅ , ⋅ [ {\displaystyle (\cdot ,\cdot ],\ ]\cdot ,\cdot ],\ [\cdot ,\cdot ),\ [\cdot ,\cdot [} 半開区間 (a , b ] は {x : a < x ≦ b } を表す sup {\displaystyle \sup } 上限 集合 S に対し、sup S は S の上限を表す。また、写像 f に対し、f (S ) sup x ∈ S f ( x ) {\displaystyle \sup _{x\in S}f(x)} sup { f ( x ) ; x ∈ S } {\displaystyle \sup\{f(x);\ x\in S\}} その他、幾つかの記法のバリエーションがある。
inf {\displaystyle \inf } 下限 上限の対義語で、記法は上限と同様。 max {\displaystyle \max } 最大値 記法は上限と同様 min {\displaystyle \min } 最小値 記法は上限と同様
特定の集合 記号 意味 ∅ , ∅ {\displaystyle \varnothing ,\emptyset } 空集合 P , P {\displaystyle \mathbf {P} ,\ \mathbb {P} } 素数 (Prime numbers) の全体、射影空間 など N , N {\displaystyle \mathbf {N} ,\ \mathbb {N} } 自然数 (Natural numbers) の全体 Z , Z {\displaystyle \mathbf {Z} ,\ \mathbb {Z} } 整数 (独: Zahlen) の全体 Q , Q {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbb {Q} } 有理数 (Rational numbers) の全体 R , R {\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbb {R} } 実数 (Real numbers) の全体 A , A {\displaystyle \mathbf {A} ,\ \mathbb {A} } 代数的数 (Algebraic numbers) の全体、アフィン空間、アデールなど C , C {\displaystyle \mathbf {C} ,\ \mathbb {C} } 複素数 (Complex numbers) の全体 H , H {\displaystyle \mathbf {H} ,\ \mathbb {H} } 四元数 (Hamilton numbers) の全体 O , O {\displaystyle \mathbf {O} ,\ \mathbb {O} } 八元数 (Octonions) の全体 S , S {\displaystyle \mathbf {S} ,\ \mathbb {S} } 十六元数 (Sedenions) の全体 U , U {\displaystyle \mathbf {U} ,\ \mathbb {U} } グロタンディーク宇宙 (Grothendieck universe) の全体 F q , GF ( q ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q},\operatorname {GF} (q)} 位数 q の有限体 Δ X {\displaystyle \Delta _{X}} 対角線集合 ： Δ X := { ( x , x ) ; x ∈ X } {\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x);\ x\in X\}}
濃度 記号 意味 解説 |•| 濃度 |S | は集合 S の濃度を表す。card S や #S も同じ。 ℵ 0 , a , ℶ 0 {\displaystyle \aleph _{0},\ {\mathfrak {a}},\ \beth _{0}} 可算 濃度 自然数全体の集合の濃度。これは極小（選択公理 を認める場合は最小）の無限濃度である。 ℵ , c , ℶ 1 {\displaystyle \aleph ,\ {\mathfrak {c}},\ \beth _{1}} 連続体濃度 実数全体の集合の濃度。これが可算濃度の次の濃度であるというのが連続体仮説 である。
以下、X, Y などは集合を表す。
記号 意味 解説 O , O {\displaystyle {\mathcal {O}},\ {\mathfrak {O}}} 開集合 系X 上に定まる開集合系を表す。開集合系によって位相を定める文脈では X を ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} C , C {\displaystyle {\mathcal {C}},\ {\mathfrak {C}}} 閉集合 系X 上に定まる閉集合系を表す。閉集合系によって位相を定める文脈では X を ( X , C ) {\displaystyle (X,{\mathcal {C}})} B ( x , r ) , B r ( x ) , B X ( x , r ) {\displaystyle B(x,r),\ B_{r}(x),\ B_{X}(x,r)} 開球体 x ∈ X {\displaystyle x\in X} r > 0 {\displaystyle r>0} B X ( x , r ) {\displaystyle B_{X}(x,r)} Int X , X ∘ {\displaystyle {\text{Int}}\,X,\ X^{\circ }} 内部 、開核X の内部 (interior) を表す。 X − , X ¯ , Cl X {\displaystyle X^{-},\ {\overline {X}},\ {\text{Cl}}\,X} 閉包 X の閉包 (closure) を表す。 ∂ X {\displaystyle \partial X} 境界 X の境界 (frontier, boundary) を表す。 O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} 相対位相 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}
ある数学定数を表すために広く習慣的に使われる記号がいくつかある。
初等幾何 記号 意味 解説 ≡ {\displaystyle \equiv } 合同 適当な方法で一致させることができる図形の間の関係。 ∽ , ∼ {\displaystyle \sim } 相似 △ABC ∽△DEF で△ABC と△DEF が相似であることを表す。 ( ∙ , ∙ , … ) {\displaystyle (\bullet ,\bullet ,\dotsc )} 座標 (a , b ) = (1, 4) で平面における座標a, b がそれぞれ1 と4 に位置することを表す。 ∠ {\displaystyle \angle } 角 ∠ABC や∠B で点B における角を表す。また、複素数の複素平面上におけるベクトルが実軸となす角度を表す。 ∟ 直角 ∟ABC で点B における角が直角であることを表す。 ⊥ {\displaystyle \bot } 垂直 AB ⊥CD で直線AB と直線CD が垂直であることを表す。 / / , ∥ {\displaystyle /\!/,\ \parallel } 平行 AB ∥CD AB と直線CD が平行であることを表す。 ⌢ {\displaystyle \frown } 弧 ⏜ AB A と点 B を結ぶ弧を表す。
距離空間 記号 意味 解説 d ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle d(\bullet ,\bullet )} 距離関数 d (x, y )x と y との距離を表す。 diam ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {diam} (\bullet )} 径 diam(X ) は d (x, y )x, y ∈ X ) 全体の集合の上限。
極限操作 記号 意味 解説 ≪ {\displaystyle \ll } 非常に小, 漸近記法 「x ≪ y x が y に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。 また、函数の漸近挙動を表すこともある。D を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} a ∈ D ¯ {\displaystyle a\in {\overline {D}}} g は、a の除外近傍 U 0 D の共通部分 U 0 ∩ D {\displaystyle U_{0}\cap D} g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} f が
lim x → a f ( x ) g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}
をみたすとき、a の周辺では f は g にくらべて無視できる といい、 f ≪ g {\displaystyle f\ll g} [ 1]
≫ {\displaystyle \gg } 非常に大 「x ≫ y x が y に比べて非常に大きいことを表す。「どれくらい」大きいかは文脈による。 ∧ , ∨ {\displaystyle \wedge ,\ \vee } 小さくない方, 大きくない方 x ∧ y {\displaystyle x\wedge y} x , y の小さくない方を、 x ∨ y {\displaystyle x\vee y} x , y の大きくない方を表すことがある。 lim {\displaystyle \lim } 極限 数列 a n lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} また、関数 f (x ) lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)} f (x )c における極限値を表す。
lim sup , lim ¯ {\displaystyle \limsup ,\varlimsup } 上極限 lim sup n → ∞ a n = inf n ∈ N sup k ≥ n a k {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }\sup _{k\geq n}a_{k}} lim inf , lim _ {\displaystyle \liminf ,\varliminf } 下極限 lim inf n → ∞ a n = sup n ∈ N inf k ≥ n a k {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }\inf _{k\geq n}a_{k}} o ( ∙ ) {\displaystyle o(\bullet )} 漸近記法 関数の漸近挙動を表す。 O ( ∙ ) {\displaystyle O(\bullet )} Θ ( ∙ ) {\displaystyle \Theta (\bullet )} Ω ( ∙ ) {\displaystyle \Omega (\bullet )} ∙ ∼ ∙ {\displaystyle \bullet \sim \bullet } ∙ ≈ ∙ {\displaystyle \bullet \approx \bullet }
微分積分 記号 意味 解説 ∙ ′ {\displaystyle \bullet '} 導関数 , 微分 関数 f に対し、f' は f の導関数を表す（ラグランジュの記法 ）。' はダッシュともプライム とも読まれる。 また、次のようにも表記される。
d d x f ( x ) , d f d x ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x),\ {\frac {df}{dx}}(x)} d d x ∙ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\bullet } ∂ {\displaystyle \partial } 偏微分 ∂ f ( x , y ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}} f (x , y )x に関する偏微分を表す。 ∫ {\displaystyle \int } 積分 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} f (x )[a , b ] における積分を表す。 ∫ D f ( x ) d x {\displaystyle \int _{D}\,f(x)dx} f (x )D ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} f (x ) ∮ {\displaystyle \oint } 線積分 ∮ D f ( x ) d x {\displaystyle \oint _{D}\,f(x)dx} f (x )D ∬ {\displaystyle \iint } 面積分 ∬ D f ( x ) d x {\displaystyle \iint _{D}\,f(x)dx} f (x )D ∭ {\displaystyle \iiint } 体積積分 ∭ D f ( x ) d x {\displaystyle \iiint _{D}\,f(x)dx} f (x )D ∇ ∙ {\displaystyle \nabla \bullet } ナブラ 各成分を微分するベクトル微分作用素を表す。 △ ∙ {\displaystyle \triangle \bullet } ラプラシアン 2つの ∇ の内積になるラプラスの微分作用素を表す。 Δ ∙ {\displaystyle \Delta \bullet } ◻ ∙ {\displaystyle \Box \bullet } ダランベルシアン 物理学において、時空 の空間成分のラプラシアンに時間 成分を加えたもの。 C ∙ {\displaystyle C^{\bullet }} C k = C k ( D ) {\displaystyle C^{k}=C^{k}(D)} D k 連続微分可能 な関数からなる集合を表す。 div ∙ {\displaystyle \operatorname {div} \bullet } 発散（湧き出し） ベクトル場 A (x )∇⋅A (x ) を与える。 rot ∙ , curl ∙ {\displaystyle \operatorname {rot} \bullet ,\operatorname {curl} \bullet } 回転（渦度） ベクトル場 A (x )∇×A (x ) を与える。 grad ∙ {\displaystyle \operatorname {grad} \bullet } 勾配 スカラー場 f (x )∇f (x ) を与える。
算術記号 記号 意味 解説 + {\displaystyle +} 正符号 x の反数 （加法 に関する逆元 ）を表すために負符号を用いて −x と記す。反数を与える演算を負符号で表すことに対応して、x 自身を与える恒等変換 に正符号を用い、その結果を +x のように表すことがある。 − {\displaystyle -} 負符号 + {\displaystyle +} 加法 x + y x と y の和を表す ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } 総和 ∑ k = 1 n a k := a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}+a_{n}} と定義され、その極限 として定まる無限和 を
∑ k = 1 ∞ a k ≡ lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}\equiv \lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}} と書く。またある命題 P (x )P (x )k についての和を取ることを
∑ P ( k ) a k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{P(k)}\,a_{k}} と書く。
− {\displaystyle -} 減法 x − y x と y の差を表す。通常、y の反数 −y を用いて x + (−y ) ± {\displaystyle \pm } 加法 と減法 x ± y x と y の和と差を表す。 × {\displaystyle \times } 乗法 x × y x と y の積を表す。中黒 (bullet operatorまたはdot operator) を使って x · y x * y プログラミング言語 において乗法の演算子として用いられる。 ⋅ {\displaystyle \cdot } ∗ {\displaystyle *} ∙ − 1 {\displaystyle \bullet ^{-1}} 乗法逆元 x -1 x との積が1 となる数を表す。1 / x ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 総乗 ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } ∏ k = 1 n a k = a 1 × a 2 × ⋯ × a n {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \dots \times a_{n}} 他の記法のバリエーションも ∑ {\displaystyle \textstyle \sum }
÷ {\displaystyle \div } 除法 x ÷ y x を y で割った商 と剰余 の組か、あるいは商を表す。x ÷ y 分数 x / y プログラミング言語 においては商を与える演算子として / が定義されている。 / {\displaystyle /} ! , {\displaystyle !,} $ {\displaystyle \,\$} (順に)階乗 , 超階乗 n !n の階乗を表す。n $n の超階乗 を表す。 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} クロネッカーのデルタ i = j 1 、i ≠ j 0 。 ⌊ ∙ ⌋ , [ ∙ ] {\displaystyle \lfloor \bullet \rfloor ,[\bullet ]} 床関数 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } x 以下の最大整数を表す。 ⌈ ∙ ⌉ {\displaystyle \lceil \bullet \rceil } 天井関数 ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } x 以上の最小整数を表す。 ( n k ) , n C k , C k n {\displaystyle {\binom {n}{k}},\,{}_{n}{\text{C}}_{k},\,C_{k}^{n}} 二項係数 （組合せ ） 通常は括弧書きで表される。C を使った記法は様々なバリエーションがある。
記号 意味 解説 | ∙ | {\displaystyle |\bullet |} 絶対値 |x | は x の絶対値である。 abs ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {abs} (\bullet )} ‖ ∙ ‖ {\displaystyle \|\bullet \|} ノルム ‖ x ‖ は x のノルムである。 ℜ ∙ {\displaystyle \Re \bullet } 実部 複素数 z に対し、Re(z ) はその実部を、Im(z ) はその虚部を表す。z = Re(z ) + i Im(z ) Re ∙ {\displaystyle \operatorname {Re} \bullet } ℑ ∙ {\displaystyle \Im \bullet } 虚部 Im ∙ {\displaystyle \operatorname {Im} \bullet } ∙ ¯ {\displaystyle {\overline {\bullet }}} 共役複素数 複素数 z に対し、 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} deg ∙ {\displaystyle \operatorname {deg} \bullet } 次数 多項式 f に対して、deg f はその次数を表す。 ∙ , ∙ ∙ {\displaystyle {\sqrt {\bullet }},{\sqrt[{\bullet }]{\bullet }}} 冪根 、根基 n √ x x の n 乗根を表す。n が 2 であるときには単に √ x ⟨ ∙ , ∙ ⟩ {\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle } 内積 <x , y > は x と y の内積を表す。 ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle (\bullet ,\bullet )}
記号 意味 解説 dim ∙ ∙ {\displaystyle \dim _{\bullet }\bullet } 次元 ベクトル空間 V に対し、「dim V 」は V の次元を表す。 | ∙ | {\displaystyle |\bullet |} 行列式 |X | は正方行列 X の行列式である。 det ( ∙ ) {\displaystyle \det(\bullet )} tr ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\bullet )} 跡 tr(X ) は正方行列 X の跡である。 t ∙ , ∙ t {\displaystyle {}^{t}\bullet ,\bullet ^{t}} 転置 t XX の転置行列である。 rank ∙ {\displaystyle \operatorname {rank} \bullet } 階数 線形写像 φ に対して、rank φ は dim Im(φ ) を表す。また、行列 A に対して、rank A は A の階数を表す。 Ker ∙ , ker ∙ {\displaystyle \operatorname {Ker} \bullet ,\ \ker \bullet } 核 、零空間 群 や環 の準同型 、ベクトル空間の間の線形写像 φ に対して、Ker φ はその準同型の核を表す。 Im ∙ , im ∙ {\displaystyle \operatorname {Im} \bullet ,\ \operatorname {im} \bullet } 像 群 や環 の準同型 、ベクトル空間の間の線形写像 φ に対して、Im φ はその準同型の像を表す。 Hom ∙ ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\bullet }(\bullet ,\bullet )} 準同型 の集合 HomK F , G ) は、作用域 K F , G homomorphism ) 全体からなる集合を表す。 Aut ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (\bullet )} 自己同型群 Aut(G ) は、G のそれ自身に対する同型 (automorphism ) 全体からなる群 を表す。 Inn ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (\bullet )} 内部自己同型群 Inn(G ) は、G の内部自己同型 (inner automorphism ) 全体からなる群 を表す。 End ( ∙ ) {\displaystyle \operatorname {End} (\bullet )} 自己準同型 End(G ) は、G のそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（モノイド ）を表す。
記号 意味 解説 ⟨ ∙ ⟩ {\displaystyle \langle \bullet \rangle } 生成 G を群 とすると、G の部分集合 S に対し、⟨S ⟩ は S の生成する部分群 を表す。特に、S が一元集合 S = {x }⟨x ⟩ とも書く。これは x の生成する巡回群である。環やベクトル空間などについても同様の記法を使う。 ( ∙ ) {\displaystyle (\bullet )} 生成するイデアル (a , ...) は a , ... K [ ∙ ] {\displaystyle K[\bullet ]} 多項式環 、生成する環K を可換環 とするとき、K [x , ...]K と {x , ... } を含む最小の環 。生成系が不定元 のみからなれば多項式の環である。 K ( ∙ ) {\displaystyle K(\bullet )} 有理関数環、生成する体 K を可換体 とするとき、K (x , ...)K と {x , ... } を含む最小の体 。生成系が不定元 のみからなれば有理式の体である。 K ⟨ ∙ ⟩ {\displaystyle K\langle \bullet \rangle } 非可換多項式環、生成する環 K を非可換環とするとき、K ⟨x , ...⟩K と {x , ... } を含む最小の環。
統計学 記号 意味 解説 r. v. 確率変数 random variable の略 p. m. f. あるいは pmf 確率質量関数 probability mass function の略 p. d. f. あるいは pdf 確率密度関数 probability density function の略 ∼ {\displaystyle \sim } “確率変数”が“確率分布”に従う X ∼ D {\displaystyle \textstyle X\sim {\mathcal {D}}} 確率変数 X が確率分布 D {\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}} i. i. d. 独立同分布 independent and identically distributed の略。X 1 , ..., Xn i.i.d.X 1 , ..., X n 確率分布 に独立 に従うことを表す P ( ∙ ) , P ( ∙ ) {\displaystyle P(\bullet ),\mathbb {P} (\bullet )} 確率 P (E )事象 E の確率 E ( ∙ ) , E ( ∙ ) {\displaystyle E(\bullet ),\mathbb {E} (\bullet )} 期待値 E (X )確率変数 X の期待値。 確率分布に対して定義する場合は「平均」と呼ばれる。
V ( ∙ ) {\displaystyle V(\bullet )} 分散 V (X )確率変数 X の分散 Cov ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (\bullet ,\bullet )} 共分散 Cov(X , Y ) は確率変数 X, Y の共分散 N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} 正規分布 平均 μ , 分散 σ 2 ρ {\displaystyle \rho } 相関係数 確率変数 の相関係数 d s v {\displaystyle dsv} 代表値 dsvはdescriptive statistics valueから来ている。 m e d i a n {\displaystyle median} 中央値 メジアン、メディアン、メデアンとも呼ぶ。 r a n g e {\displaystyle range} 範囲 レンジとも呼ぶ。 m o d e {\displaystyle mode} 最頻値 モードとも呼ぶ。
^ 数学においては、各々の記号はそれ単独では「意味」を持たないものと理解される。それらは常に、数式 あるいは Well-formed formula として文脈（時には暗黙のうちに掲げられている、前提や枠組み）に即して評価をされて初めて、値として意味を生じるのである。ゆえにここに掲げられる意味は慣用的な一例に過ぎず絶対ではないことに事前の了解が必要である。記号の「読み」は記号の見た目やその文脈における意味、あるいは記号の由来（例えばエポニム ）など便宜的な都合（たとえば、特定のグリフをインプットメソッド を通じてコードポイントを指定して利用するために何らかの呼称を与えたりすること）などといったものに従って生じるために、「記号」と「読み」との間には相関性を見いだすことなく分けて考えるのが妥当である。 ^ 言語によっては % をエスケープ する必要があり、たとえばR言語 では %% が用られる。 
French
Deutsch
![{\displaystyle {\text{Im}},\ {\text{Image}},\ \bullet [\bullet ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c5ac17f35836d663b75f2f8a9a277b498fbc55)
![{\displaystyle \varphi [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fad05f591b3f5c5b5adad99d4400726e197500c)
![{\displaystyle (\cdot ,\cdot ),\ ]\cdot ,\cdot [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f650206afa398355c847f42c506568bbf5704a)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle (\cdot ,\cdot ],\ ]\cdot ,\cdot ],\ [\cdot ,\cdot ),\ [\cdot ,\cdot [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583db51719be4f1a5b990ab9da70855c752fdd03)
![{\displaystyle \lfloor \bullet \rfloor ,[\bullet ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93ecb6462fa09acd9dad631115636ab059b287e)
![{\displaystyle {\sqrt {\bullet }},{\sqrt[{\bullet }]{\bullet }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff545c3d0ef80a4fb7bd4cf65bda6b0d3adeab5)
![{\displaystyle K[\bullet ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1f2c1dbec5a995656162fb7fc609b5cb9ad403)
