Kresy dolny i górny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych

[edytuj | edytuj kod]

Definicje

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru nazywamy liczbę spełniającą:

dla wszystkich elementów

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę spełniającą:

  • jest ograniczeniem górnym zbioru
  • jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru to

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru[1].

Kres górny zbioru oznaczamy kres dolny

Zapisy oraz oznaczają, że jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
  • Przypuśćmy, że jest niepustym zbiorem oraz wówczas
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
    wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
  • Jeżeli oraz oznaczymy to:

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Niech Wówczas:
ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.
  • Niech Wówczas:
bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech Wówczas podobnie jak dla zbioru oraz
  • Niech Wówczas:
gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.
  • Niech Wówczas:
 bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych

[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru jeśli:

Element nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru jeśli:

Element jest kresem górnym (supremum) zbioru jeśli jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych tzn.

jest ograniczeniem górnym zbioru
jeśli jest ograniczeniem górnym zbioru to

Element jest kresem dolnym (infimum) zbioru jeśli jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych tzn.

jest ograniczeniem dolnym zbioru
jeśli jest ograniczeniem dolnym zbioru to

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ma kres górny, to porządek nazywa się zupełnym.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru (o ile takie istnieją w zbiorze ).
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia i odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru są jednoznaczne.
  • Jeśli jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy taki że i obcięcie zgadza się z oraz jest gęstym podzbiorem Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ma kres dolny.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych z porządkiem naturalnym i zbiór to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
    Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać i ma oba kresy.
  • Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór nie ma w zbiorze kresu górnego, bowiem jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór nie ma w zbiorze kresu dolnego.
  • Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ma w zbiorze kres górny podzbiór ma w zbiorze kres dolny
  • Niech będzie algebrą Boole’a i niech będzie porządkiem boole’owskim na (tzn. dla wtedy i tylko wtedy, gdy ).
    • Kres górny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany sumą zbioru . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru (jeśli istnieje) jest oznaczany przez i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a
      każdy niepusty podzbiór ma kres górny (tzn. sumę),
      każdy niepusty podzbiór ma kres dolny (tzn. produkt).
    • Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli to
      oraz

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Kres zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]