Porządek zupełny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.

W teorii mnogości pojęcie zupełności rozważa się zwykle dla porządków liniowych. Własność ta stwierdza, że żaden przekrój Dedekinda w danym porządku nie wyznacza "luki" i była ona wprowadzona przez Richarda Dedekinda w 1872^[1][2]. Z tego powodu czasami mówi się o porządkach zupełnych w sensie Dedekinda.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem liniowym. Powiemy, że porządek ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ma kres górny. Równoważnie, porządek liniowy ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli każdy jego niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.

Krata jest zupełna jeśli, kiedy rozważamy ją jako zbiór częściowo uporządkowany, każdy jej podzbiór ma kres górny oraz kres dolny.

Niektórzy autorzy^[3] formułują tę definicję dla porządków częściowych, określając porządki zupełne jako takie, w których każdy podzbiór ma oba (górny i dolny) kresy. Porządek zupełny jest wtedy tym samym co krata zupełna.

W teorii porządków częściowych rozważa się następującą definicję zupełności^[4] motywowaną zastosowaniami w teoretycznej informatyce.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem częściowym.

• Niepusty podzbiór ${\displaystyle Y\subseteq X}$ jest skierowany jeśli każde dwa elementy zbioru ${\displaystyle Y}$ mają wspólne ograniczenie górne w tym zbiorze.
• Powiemy, że porządek ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli ma on element najmniejszy oraz każdy podzbiór skierowany ma kres górny.

• aksjomat ciągłości