Relacja zwrotna – Wikipedia, wolna encyklopedia

Relacja zwrotna^[1][2] – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą^[1].

Formalnie relację dwuczłonową ${\displaystyle \rho \subseteq X\times X}$ nazywa się zwrotną, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi warunek ${\displaystyle (x,x)\in \rho }$^[2].

Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).

Relacja przeciwzwrotna^[2] – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie relację ${\displaystyle \rho \subseteq X\times X}$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy dla żadnego ${\displaystyle x\in X}$ nie zachodzi warunek ${\displaystyle (x,x)\in \rho ,}$ czyli gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi ${\displaystyle (x,x)\notin \rho }$^[2].

• relacja identyczności w zbiorze^[2]
• relacja podzielności w zbiorze (dodatnich) liczb naturalnych^[2],
• relacja przecinania się zbiorów niepustych,
• przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
• liniowa zależność wektorów,
• podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.

• relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych,
• ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów,
• prostopadłość prostych,
• rozłączność zbiorów niepustych,
• liniowa niezależność niezerowych wektorów,
• bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem.

• względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą,
• Biorąc relację ${\displaystyle \varrho }$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: ${\displaystyle n\ \varrho \ m}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n+m+1}$ jest liczbą pierwszą. Relacja ${\displaystyle \varrho }$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo ${\displaystyle \lnot (10\ \varrho \ 10)}$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ ${\displaystyle 10+10+1=21=3\cdot 7}$) oraz ${\displaystyle 2\ \varrho \ 2}$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ ${\displaystyle 2+2+1=5}$).

• relacja przechodnia
• relacja symetryczna
• relacja równoważności

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.