Ciało uporządkowane – ciało
w którym wyróżniony jest podzbiór
elementów dodatnich o następujących własnościach:
- zbiór
jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: 
- zbiór
jest zamknięty ze względu na dodawanie: 
- zbiór
jest zamknięty ze względu na mnożenie: 
gdzie
oraz
[1][2].
Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:
- Dla każdego
ma miejsce jedna z trzech zależności: 
- Jeśli
i
to 
- Jeśli
i
to
>0[3].
- zapis
oznacza, że
[4], a zapis
oznacza, że
[5]. - zapis
oznacza, że
[6].
- Dla każdych dwóch elementów
albo
albo
albo
Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało 
- Jeśli
i
to 
Dowód:
i
to
czyli
a stąd
- Jeśli
i
to 
Dowód:
Dlatego
- Jeśli
i
to 
Dowód:
bo jeśli
to
co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli
to
co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego
- Jeśli
i
to 
- Dla każdego niezerowego elementu
ciała
zachodzi nierówność
W szczególności 
czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0. - Jeśli
to 
Dowód:
i dlatego
- Jeśli
to 
Dowód:
- Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane[7].
- Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
- Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
- ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego
znaki liczb
oraz
byłyby identyczne. Tymczasem 
- dowolne ciało skończone.
W każdym ciele
charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych
Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu
istnieje taka liczba całkowita
że
[8].
- Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych
z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9]. - Ciało liczb rzeczywistych
może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].
- ↑ Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.).
- ↑ W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
- ↑ ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.).
- ↑ Mówimy wtedy, że
jest większy od zera. - ↑ Mówimy wtedy, że
jest mniejszy od zera i zapisujemy to
- ↑ Mówimy wtedy, że
jest większy od
- ↑ E. Artin, op. cit., s. 66–70.
- ↑ E. Artin, op. cit., s. 70.
- ↑ a b E. Artin, op. cit., s. 71.
- ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.). Brak numerów stron w książce
- Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.). Brak numerów stron w książce