Liczby wymierne – Wikipedia, wolna encyklopedia
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/U%2B211A.svg/220px-U%2B211A.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/220px-Diagonal_argument.svg.png)
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek[2]. Symbolicznie:
Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:
- porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu[1];
- liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe[1];
- pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwójki jest niewymierny[3]:
Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:
- konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
- opisuje dalsze własności, opisane niżej;
- wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.
Konstrukcja
[edytuj | edytuj kod]Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
Własności
[edytuj | edytuj kod]- W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych[1], co oznacza się [potrzebny przypis].
- W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania[1]. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało[1] i definiuje się nimi ciała liczbowe.
- Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły.
- Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych[4][5];
- Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej – są gęste w
- Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna
- Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne.
- Jeśli to można przyjąć
- Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli
Podobnie gdy wskazujemy i wówczas - Niech więc i niech np. jest niewymierne.
Dla pewnego zachodzi stąd
Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności
Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
- czyli
- Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i
- Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d e f Liczby wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ Eric W. Weisstein , Rational Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-11-23].
- ↑ a b liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ ułamek łańcuchowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑
Rational number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].