Elementy najmniejszy i największy – Wikipedia, wolna encyklopedia

Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

${\displaystyle \forall y\in P:x\leq y}$

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

${\displaystyle \forall y\in P:y\leq x}$

Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: ${\displaystyle m\preccurlyeq n\iff m|n}$ – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną)^[1].
Z drugiej strony zbiór liczb ${\displaystyle G=\{2,3,4,6,24\}}$ uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

• zbiór liczb ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ z naturalnym porządkiem ${\displaystyle \leq }$ ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
• zbiór liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}}$ ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
• zbiór liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}}$ nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór

• ${\displaystyle Q_{1}=\mathbb {Q} \cap [0,1]}$ liczb wymiernych w przedziale domkniętym ${\displaystyle [0,1]}$

ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory

• ${\displaystyle Q_{2}=\mathbb {Q} \cap (0,1)}$ liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych ${\displaystyle (0,1)}$ oraz
• ${\displaystyle Q_{3}=\mathbb {Q} \cap \left[{\sqrt {2}},\pi \right]}$ w przedziale o krańcach niewymiernych

elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy, jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

• elementy minimalny i maksymalny