Stożek (bryła) – Wikipedia, wolna encyklopedia

Stożek (łac. conus) – bryła ograniczona przez:

1. powierzchnię stożkową, której krzywa kierująca jest zamknięta;
2. płaszczyznę przecinającą tę powierzchnię stożkową^[1].

Mówiąc krótko, stożek powstaje przez połączenie odcinkami dowolnej figury płaskiej z jednym punktem spoza jej płaszczyzny^[2].

W każdym stożku wyróżnia się:

• podstawę – część płaszczyzny wyciętą przez powierzchnię stożkową. Podstawą stożka może być dowolna figura płaska, a jej obwód może być krzywą kierującą powierzchni stożkowej;
• wysokość – odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.

Jeśli podstawą stożka jest koło, to nazywa się go stożkiem kołowym^[1]. Jeśli podstawą jest wielokąt, to taki stożek jest znany jako ostrosłup, przy czym ten typ figur ma też inne definicje.

Wynosi ona^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$

gdzie:

${\displaystyle S}$ – pole powierzchni podstawy stożka,

${\displaystyle h}$ – wysokość stożka.

Jeśli w stożku kołowym rzut wierzchołka na podstawę jest jej środkiem, to taki stożek nazywa się kołowym prostym^[1]. Dowolny odcinek między jego wierzchołkiem a podstawą jest znany jako tworząca stożka^[1]. Jest to bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Dlatego jest też znana jako stożek obrotowy^{[potrzebny przypis]}. Stożek bywa definiowany w ten wąski sposób^[3][4].

Poszczególne boki tego trójkąta prostokątnego są dalej oznaczane:

• ${\displaystyle h}$ – przyprostokątna na osi obrotu, będąca wysokością stożka;
• ${\displaystyle r}$ – druga przyprostokątna, będąca promieniem podstawy;
• ${\displaystyle l}$ – przeciwprostokątna, będąca tworzącą stożka.

Z twierdzenia Pitagorasa:

${\displaystyle l={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}.}$

Pole powierzchni bocznej^[5]:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}=\pi rl.}$

Uzasadnienie: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o:

• promieniu takim jak tworząca stożka: ${\displaystyle R=l;}$
• długości łuku równej obwodowi podstawy stożka: ${\displaystyle L=2\pi r.}$

Pole powierzchni tego wycinka można obliczyć z ogólnego wzoru^[a]:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}={\frac {1}{2}}LR={\frac {1}{2}}2\pi rl=\pi rl.}$

Pole powierzchni całkowitej^[5]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{c}&={\mathcal {P}}_{b}+{\mathcal {P}}_{p}=\\&=\pi rl+\pi r^{2}=\\&=\pi r(r+l).\end{aligned}}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\mathcal {P}}_{p}h.}$^[5]

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}}$ jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.

Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r}{h}}.}$

Jej objętość wynosi^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{6}}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – długość tworzącej,

${\displaystyle r}$ – promień podstawy.

Stożek obrotowy w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisany układem nierówności:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}\leqslant \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}\\&0\leqslant z\leqslant h\end{aligned}}\right.,}$

gdzie: ${\displaystyle r>0,\ h>0.}$

Zobacz hasło stożek w Wikisłowniku

• stożek świetlny
• wielościan

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ISBN 83-01-11658-7.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Right Circular Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cone-Sphere Intersection, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Generalized Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Cone (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-20].