Tożsamość Brahmagupty – Wikipedia, wolna encyklopedia

Tożsamość Brahmagupty^[1] – tożsamość algebraiczna, z której wynika, że iloczyn dwóch liczb postaci ${\displaystyle a^{2}+nb^{2}}$ również jest tej postaci. Innymi słowy, zbiór liczb postaci ${\displaystyle a^{2}+nb^{2}}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie^[1]. Tożsamość Brahmagupty orzeka, że^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&&(2)\end{aligned}}}$

Obie równości łatwo zweryfikować, podnosząc wszystkie wyrażenia do kwadratu i redukując wyrazy podobne.

Po przyjęciu w powyższym wzorze ${\displaystyle n=1}$ otrzymujemy tożsamość Fibonacciego^[1], nazywaną także tożsamością Diofantosa^[2]. Stwierdza ona, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą dwóch kwadratów, również jest sumą dwóch kwadratów^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Tożsamość Fibonacciego stanowi szczególny przypadek tożsamości Lagrange’a ${\displaystyle (n=2).}$

Tożsamość Brahmagupty jest prawdziwa dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

Tożsamość ta jest stosowana w teorii liczb, przy założeniu, że liczby ${\displaystyle a,b,c,d}$ i ${\displaystyle n}$ są całkowite. Wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów jest używana do udowodnienia, że liczba całkowita jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby pierwsze postaci ${\displaystyle 4k+3}$ występują w jej rozkładzie na czynniki pierwsze z parzystym wykładnikiem^[1].

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19)^[3]. Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126^[4]. Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Jeśli ${\displaystyle a,\ b,\ c,}$ i ${\displaystyle d}$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość Fibonacciego jest równoważna multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

${\displaystyle |a+bi|\ |c+di|=|(a+bi)(c+di)|}$

Ponieważ

${\displaystyle |a+bi|\ |c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,}$

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

${\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}}$

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella: ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1.}$ Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ i ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2}),}$ będące rozwiązaniami ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k,}$ aby otrzymać nową trójkę

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez ${\displaystyle k_{1}k_{2}.}$ Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty^[5].

• tożsamość Lagrange’a
• twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów

• MarekM. Kordos MarekM., Skąd mógł to wiedzieć?, „Delta”, wrzesień 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fibonacci Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].