Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja
Equação de Bernoulli.
A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
| (0.1) |
onde é um qualquer número real. Para e esta equação diferencial não é linear.
Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.
Começamos por dividir ambos membros por
| (0.2) |
Seja agora
Derivando obtemos
Multiplicando ambos membros de (0.2) por fica
| (0.3) |
Ou seja,
| (0.4) |
A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, e contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir por
Vamos resolver a seguinte equação diferencial
| (0.5) |
Dividindo ambos os membros por fica
| (0.6) |
Pondo
| |
| |
A equação (0.6) é equivalente a
| (0.7) |
Substituindo por vem
| (0.8) |
Usando a notação anterior,
e
onde
e
A solução geral de (0.8) é dada por
ou seja,
| (0.9) |
Para (0.9) é equivalente a
ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,
Substituindo por vem
ou ainda,
- Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
- Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, ISBN 978-3-540-56670-0, Berlin, New York: Springer-Verlag .