Matriz unitária – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição
onde é a matriz identidade e é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado
Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,
assim também uma matriz unitária U satisfaz
para todos os vetores complexos x e y, onde estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cn. Se é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:
- é unitária
- é unitária
- as colunas de formam uma base ortonormal de Cn com respeito ao seu produto interno
- as linhas de formam uma base ortonormal de Cn com respeito a este produto interno
- é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno
Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.
Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma
onde V é unitária, e é diagonal e unitária.
Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo.
Propriedades das matrizes unitárias
[editar | editar código-fonte]- é invertível
- |det()| = 1
- é unitária
- Matrizes unitárias preservam o comprimento
- Matrizes unitárias tem valores próprios complexos de módulo 1.[1]
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Matriz transposta conjugada
- Matriz hermitiana
- Matriz simplética
- Grupo unitário
- Grupo especial unitário
- Operador unitário
- Defeito de uma matriz unitária
- Decomposição de uma matriz
Referências
- ↑ R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd Ed., pg. 39.