Símbolo de Levi-Civita Em matemática e em particular em cálculo tensorial , define-se símbolo de Levi-Civita , também chamado de símbolo de permutação , como se segue:
ϵ i j k = { + 1 se ( i , j , k ) é ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) ou ( 3 , 1 , 2 ) − 1 se ( i , j , k ) é ( 3 , 2 , 1 ) , ( 1 , 3 , 2 ) ou ( 2 , 1 , 3 ) 0 de outra maneira: i = j ou j = k ou k = i {\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{se }}(i,j,k){\mbox{ é }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{se }}(i,j,k){\mbox{ é }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3)\\0&{\mbox{de outra maneira: }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i\end{matrix}}\right.} nomeado assim por Tullio Levi-Civita . Utiliza-se em muitas áreas das matemática e em física . Por exemplo, em álgebra linear , o produto vectorial de dois vectores pode ser escrito como:
a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ i = 1 3 ( ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k a j b k ) e i {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)\mathbf {e} _{i}} ou mais simplesmente:
a × b = c , c i = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k a j b k {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein , convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação .
O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:
ϵ i j k l … = { + 1 se ( i , j , k , l , … ) é uma permutação par de ( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) − 1 se ( i , j , k , l , … ) é uma permutação ímpar de ( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) 0 se dois índices são iguais {\displaystyle \epsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{se }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ é uma permutação par de }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{se }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ é uma permutação ímpar de }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{se dois índices são iguais}}\end{matrix}}\right.} Ver permutação par ou grupo simétrico para uma definição de 'permutação par' e de 'permutação ímpar'.
O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker . Em três dimensões, a relação é dada pelas seguintes equações:
ε i j k ε l m n = det | δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n | {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\det {\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}} = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) + δ i m ( δ j n δ k l − δ j l δ k n ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) {\displaystyle =\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)+\delta _{im}\left(\delta _{jn}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{kn}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\,} Uma consequência importante da relação acima é dada pela equação abaixo:
∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = ∑ i = 1 3 ( det | 1 δ i m δ i n δ j i δ j m δ j n δ k i δ k m δ k n | ) = ∑ i = 1 3 ( δ j m δ k n − δ j n δ k m + δ i m ( δ j n δ k i − δ j i δ k n ) + δ i n ( δ j i δ k m − δ j m δ k i ) ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\sum _{i=1}^{3}\left(\det {\begin{vmatrix}1&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{ji}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{ki}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}+\delta _{im}\left(\delta _{jn}\delta _{ki}-\delta _{ji}\delta _{kn}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{ji}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{ki}\right)\right)} Como δ i m {\displaystyle \delta _{im}} e δ i n {\displaystyle \delta _{in}} são diferentes de zero somente para i = m {\displaystyle i=m} e i = n {\displaystyle i=n} , respectivamente, o resultado da soma é: ∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = 3 ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) + ( δ j n δ k i − δ j i δ k n ) + ( δ j i δ k m − δ j m δ k i ) = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=3\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)+\left(\delta _{jn}\delta _{ki}-\delta _{ji}\delta _{kn}\right)+\left(\delta _{ji}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{ki}\right)=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} A relação acima é muito utilizada em cálculo vetorial[ 1] .
A relação entre o produto de símbolo de Levi-Civita e o produto de deltas de Kronecker permite deduzir com facilidade diversas relações de operações entre vetores e operadores vetoriais. Por exemplo a fórmula abaixo, informalmente conhecida por “BAC-CAB”, pode ser derivada de uma maneira simples e direta utilizando o formalismo acima.
A × ( B × C ) = B ( A . C ) − C ( A . B ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} .\mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} .\mathbf {B} )}
Seja D = B × C {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {B} \times \mathbf {C} } . Sua componente i, como visto acima, pode ser representada por D i = ε i j k B j C k {\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ijk}B_{j}C_{k}} , onde índices repetidos seguem a convenção de Einstein, ou seja, indicam a existência de um somatório no respectivo índice. No caso como há dois índices repetidos há dois somatórios implícitos (em j {\displaystyle j} e k {\displaystyle k} ).
Da mesma forma A × ( B × C ) = A × D = ε m n i A n D i {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times \mathbf {D} =\varepsilon _{mni}A_{n}D_{i}} , onde o símbolo de Levi-Civita foi definido com os índices m n i {\displaystyle mni} para distinguí-lo daquele contido em D com índices i j k {\displaystyle ijk} e tomando o ultimo índice igual a i {\displaystyle i} ( m n i ) {\displaystyle \left(mni\right)} pois trata-se da componente D i {\displaystyle D_{i}} , pelo menos motivo o índice n {\displaystyle n} em m n i {\displaystyle mni} refere-se à componente A n {\displaystyle A_{n}} . Expressando D {\displaystyle \mathbf {D} } em termos de B {\displaystyle \mathbf {B} } e C {\displaystyle \mathbf {C} } , a expressão torna-se:
A × ( B × C ) = ε m n i A n ε i j k B j C k {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{mni}A_{n}\varepsilon _{ijk}B_{j}C_{k}}
A vantagem de utilizar esse formalismo se deve ao fato de poder utilizar grandezas escalares ao invés de vetoriais o que facilita a sua manipulação. Como todos os termos são escalares pode-se comutá-los:
A × ( B × C ) = ε m n i ε i j k A n B j C k {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{mni}\varepsilon _{ijk}A_{n}B_{j}C_{k}}
Utilizando a relação ε i j k ε m n i = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{mni}={\delta _{jm}}{\delta _{kn}}-{\delta _{jn}}{\delta _{km}}} , descrita acima, a expressão pode ser rescrita como:
A × ( B × C ) = ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) A n B j C k = δ j m δ k n A n B j C k − δ j n δ k m A n B j C k {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km})A_{n}B_{j}C_{k}=\delta _{jm}\delta _{kn}A_{n}B_{j}C_{k}-\delta _{jn}\delta _{km}A_{n}B_{j}C_{k}}
O termo δ j m δ k n A n B j C k {\displaystyle \delta _{jm}\delta _{kn}A_{n}B_{j}C_{k}} só é não nulo se, simultaneamente, j = m {\displaystyle j=m} e k = n {\displaystyle k=n} , ou seja, resta apenas o termo A n B m C n {\displaystyle A_{n}B_{m}C_{n}} . Analogamente o termo δ j n δ k m A n B j C k {\displaystyle \delta _{jn}\delta _{km}A_{n}B_{j}C_{k}} só é não nulo se, simultaneamente, j = n {\displaystyle j=n} e k = m {\displaystyle k=m} , restando apenas o termo A n B n C m {\displaystyle A_{n}B_{n}C_{m}} . Esse resultado é devido à propriedade da delta de Kronecker.
Usando a comutatividade e associatividade de escalares, tem-se a componente m da relação:
[ A × ( B × C ) ] m = B m ( A n C n ) − C m ( A n B n ) {\displaystyle \left[\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\right]_{m}=B_{m}(A_{n}C_{n})-C_{m}(A_{n}B_{n})}
Os termos em parênteses tem índices repetidos e portanto implicam um somatório, em particular, trata-se do produto escalar de dois vetores. Finalmente, expressando o resultado em termos de vetores novamente:
A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}
Referências