Domeniu stea

În matematică o mulțime ${\displaystyle S}$ din spațiu euclidian ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ este numită domeniu stea (sau domeniu în formă de stea) dacă există cel puțin un punct ${\displaystyle s_{0}\in S}$ astfel încât pentru orice punct ${\displaystyle s\in S,}$ tot segmentul dintre ${\displaystyle s_{0}}$ și ${\displaystyle s}$ este cuprins în ${\displaystyle S.}$ Această definiție poate fi generalizată imediat la orice spațiu vectorial real sau complex.

Intuitiv, dacă se imaginează ${\displaystyle S}$ ca fiind o regiune înconjurată de un zid, ${\displaystyle S}$ este un domeniu stea dacă se poate găsi un punct de observare ${\displaystyle s_{0}}$ în ${\displaystyle S}$ din care orice punct ${\displaystyle s}$ din ${\displaystyle S}$ se află în raza vizuală. Un concept similar, dar distinct, este cel de mulțime radială.

• Orice dreaptă sau plan din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ este un domeniu stea.
• Dacă ${\displaystyle A}$ este o mulțime din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ mulțimea ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ obținută prin conectarea tuturor punctelor din ${\displaystyle A}$ la origine este un domeniu stea.
• Orice mulțime convexă^⁠(d) vidă este un domeniu stea. O mulțime este convexă dacă și numai dacă este un domeniu stea față de orice punct din acea mulțime.
• Un patrulater care se autointersectează este un domeniu stea, dar nu este convex.
• Un poligon în formă de stea este un domeniu stea a cărei frontieră este o succesiune de segmente conectate.

• închiderea a unui domeniu stea este un domeniu stea, dar interiorul unui domeniu stea nu este neapărat un domeniu stea.
• Orice domeniu stea este contractibil, printr-o omotopie în linie dreaptă. În special, orice domeniu stea este o mulțime simplu conexă.
• Orice domeniu stea, și doar un domeniu stea, poate fi „micșorat în sine”; adică pentru fiecare raport de dilatare ${\displaystyle r<1,}$ domeniul stea poate fi dilatat cu acest raport ${\displaystyle r}$ astfel încât domeniul stea dilatat să fie conținut în domeniul stea original.^[1]
• Reuniunea sau intersecția a două domenii stea nu este obligatoriu să fie un domeniu stea.
• Un domeniu stea deschis nevid ${\displaystyle S}$ în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ este difeomorf cu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• en Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN: 0-521-28763-4, marathi 0698076
• en C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). p. 386, marathi 0227724, JSTOR 2313423

• Poligon stelat

Portal Matematică

• Materiale media legate de domeniu stea la Wikimedia Commons
• en Humphreys, Alexis, Star convex la MathWorld.