Poliedru Johnson

Girobicupola pătrată alungită, (J₃₇), este un poliedru Johnson

Octaedrul stelat nu este un poliedru Johnson deoarece nu este convex

Acest poliedru cu 24 de fețe pătrate nu este un poliedru Johnson deoarece nu este strict convex
(are unghiuri diedre de 180°)

În geometrie, un poliedru Johnson este un poliedru strict convex ale cărui fețe sunt poligoane regulate. Nu există condiția ca toate fețele să fie același poligon sau că aceleași poligoane să se întâlnească în jurul fiecărui vârf. Un exemplu de poliedru Johnson este piramida pătrată echilaterală, J₁, care are o față pătrată și 4 fețe triunghiulare. Unii autori cer ca poliedrul să nu fie uniform, adică să nu fie poliedru platonic, poliedru arhimedic, prismă uniformă sau antiprismă uniformă, pe care nu le consideră „poliedre Johnson”.

Ca la orice poliedru strict convex, cel puțin trei fețe se întâlnesc în fiecare vârf, iar suma unghiurilor lor din dreptul unui vârf este mai mică de 360°. Deoarece un poligon regulat are unghiuri de cel puțin 60 de grade, rezultă că cel mult cinci fețe se întâlnesc în orice vârf. Piramida pentagonală (J₂) este un exemplu care are un vârf de gradul 5.

Deși nu există nicio restricție evidentă că un anumit poligon regulat nu ar putea fi o față a unui poliedru Johnson, se pare că fețele poliedrelor Johnson care nu sunt uniforme (adică nu sunt un poliedru platonic, arhimedic, prismă sau antiprismă uniforme) au întotdeauna 3, 4, 5, 6, 8 sau 10 laturi.

În 1966, Norman Johnson a publicat o listă care include toate cele 92 de poliedre Johnson (excluzând cele 5 poliedre platonice, cele 13 poliedre arhimedice și infinit de multele prisme și antiprisme uniforme) și le-a dat numele și numerele lor. El nu a demonstrat că există doar 92, dar a conjecturat că nu există altele. În 1967 Victor Zalgaller a demonstrat că lista lui Johnson era completă.^[1]

Dintre poliedrele Johnson, girobicupola pătrată alungită (J₃₇), numită și pseudorombicuboctaedru,^[2] este unică prin faptul că este uniformă local la nivel de vârf: în fiecare vârf se întâlnesc 4 fețe, iar dispunerea lor este întotdeauna aceeași: 3 pătrate și 1 triunghi. Totuși, ea nu este tranzitivă pe vârfuri, deoarece are izometrie diferită în vârfuri diferite, făcându-l mai degrabă un poliedru Johnson decât un poliedru arhimedic.

Denumiri

Denumirile poliedrelor Johnson se formează pe baza unei formule descriptive flexibile și precise, astfel încât multe poliedre pot fi denumite în moduri diferite fără a compromite acuratețea lor ca descriere. Majoritatea poliedrelor Johnson pot fi construite din primele câteva piramide, cupole și rotonde, împreună cu poliedrele platonice și arhimedice, prisme și antiprisme. În limba română începutul numelui unui anumit poliedru va conține aceste noțiuni. De acolo, o serie de prefixe și sufixe sunt atașate cuvântului pentru a indica adăugiri, rotații și transformări:

Bi- indică că două copii ale poliedrului respectiv sunt lipite bază la bază. Pentru cupole și rotonde, cele două poliedre pot fi lipite astfel încât fețele lor să corespundă (orto-), sau nu (giro- = rotite). Folosind această nomenclatură, un octaedru poate fi descris ca o bipiramidă pătrată, un cuboctaedru ca o girobicupolă triunghiulară iar un icosidodecaedru ca o girobirotondă pentagonală.
Alungită indică că o prismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un rombicuboctaedru poate fi astfel descris ca o ortobicupolă pătrată alungită.
Giroalungită indică că o antiprismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un icosaedru poate fi astfel descris ca o bipiramidă pentagonală giroalungită.
Augmentată indică că un alt poliedru, și anume o piramidă sau cupolă, este lipită la una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv.
Diminuată indică eliminarea unei piramide sau cupole de pe una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv.
Girată indică că o cupolă montată pe sau existentă în poliedrul respectiv este rotită astfel încât diferite margini să se potrivească, ca în diferența dintre orto și girobicupole.

Ultimele trei operații — augmentare, diminuare și girare — pot fi efectuate de mai multe ori la anumite poliedre mari. Bi- și Tri- indică o operație dublă, respectiv triplă. De exemplu, un poliedru bigirat are două cupole rotite, iar un poliedru tridiminuat are trei piramide sau cupole îndepărtate.

La anumite poliedre mari se face distincția între poliedrele la care fețele modificate sunt paralele și poliedrele în care fețele modificate sunt oblice. Para- indică primul caz, că poliedrul respectiv are fețele paralele modificate, iar Meta- indică al doilea caz, că poliedrul respectiv are fețele oblice modificate. De exemplu, un poliedru parabiaugmentat a avut două fețe paralele augmentate, iar un poliedru metabigirat a avut două fețe oblice rotite.

Ultimele câteva poliedre Johnson au nume bazate pe anumite complexe poligonale din care sunt asamblate. Aceste nume sunt definite de Johnson^[3] în modul următor:

O lună este un complex de două triunghiuri atașate la laturile opuse ale unui pătrat.
Sfeno- indică un complex format din două lune adiacente în lung la nivelul triunghurilor. Bisfeno- indică două astfel de complexe.
Hebesfeno- indică un complex de trei lune alăturate.
Coroană este un complex asemănător unei coroane, din opt triunghiuri.
Megacoroană este un complex mai mare asemănător unei coroane, din 12 triunghiuri.
Sufixul -cingulum indică o centură de 12 triunghiuri.

Enumerare

Piramide, cupole și rotonde

Primele 6 poliedre Johnson sunt piramide, cupole sau rotonde cu cel mult 5 fețe laterale. Piramidele și cupolele cu 6 sau mai multe fețe laterale sunt coplanare și, prin urmare, nu sunt poliedre Johnson.

Piramide

Primele două poliedre Johnson, J1 și J2, sunt piramide. Piramida triunghiulară este tetraedrul regulat, deci nu este un poliedru Johnson. J1 și J2 reprezintă părți ale poliedrelor regulate.

Regulat	J1	J2
Piramidă triunghiulară (Tetraedru)	Piramidă pătrată	Piramidă pentagonală


Poliedre regulate conexe
Tetraedru	Octaedru	Icosaedru

Cupole și rotonde

Următoarele patru poliedre Johnson sunt trei cupole și o rotondă. Ele sunt părți ale poliedrelor uniforme.

Cupolă				Rotondă
Uniforme	J3	J4	J5	J6
Fastigium (Cupolă digonală) (Prismă triunghiulară)	Cupolă triunghiulară	Cupolă pătrată	Cupolă pentagonală	Rotondă pentagonală


Poliedre uniforme conexe
	Cuboctaedru	Rombicuboctaedru	Rombicosidodecaedru	Icosidodecaedru

Piramide modificate

Poliedrele Johnson 7–17 sunt derivate din piramide.

Piramide alungite și giroalungite

În piramida triunghiulară giroalungită, trei perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează câte un romb nepătrat, deci nu este un poliedru Johnson.

Piramide alungite			Piramide giroalungite
J7	J8	J9	Coplanar	J10	J11
Piramidă triunghiulară alungită	Piramidă pătrată alungită	Piramidă pentagonală alungită	Piramidă triunghiulară giroalungită (trapezoedru trigonal diminuat)	Piramidă pătrată giroalungită	Piramidă pentagonală giroalungită


Augmentate de la poliedrele
tetraedru prismă triunghiulară	piramidă pătrată cub	piramidă pentagonală prismă pentagonală	tetraedru octaedru	piramidă pătrată antiprismă pătrată	piramidă pentagonală antiprismă pentagonală

Bipiramide

Bipiramida pătrată este octaedrul regulat, în timp ce bipiramida pentagonală giroalungită este icosaedrul regulat, deci nu sunt solide Johnson. În bipiramida triunghiulară giroalungită șase perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează romburi nepătrate, deci, de asemenea, nu este un solid Johnson.

Bipiramide			Bipiramide alungite			Bipiramide giroalungite
J12	Regulat	J13	J14	J15	J16	Coplanar	J17	Regulat
Bipiramidă triunghiulară	Bipiramidă pătrată (octaedru)	Bipiramidă pentagonală	Bipiramidă triunghiulară alungită	Bipiramidă pătrată alungită	Bipiramidă pentagonală alungită	Bipiramidă triunghiulară giroalungită (trapezoedru trigonal)	Bipiramidă pătrată giroalungită	Bipiramidă pentagonală giroalungită (icosaedru)


Augmentate de la poliedrele
tetraedru	piramidă pătrată	piramidă pentagonală	tetraedru prismă triunghiulară	piramidă pătrată cub	piramidă pentagonală prismă pentagonală	tetraedru octaedru	piramidă pătrată antiprismă pătrată	piramidă pentagonală antiprismă pentagonală

Cupole și rotonde modificate

Poliedrele Johnson 18–48 derivă din cupole și rotonde.

Cupole și rotonde alungite și giroalungite

Cupole alungite				Rotondă alungită	Cupole giroalungite				Rotondă giroalungită
Coplanar	J18	J19	J20	J21	Concav	J22	J23	J24	J25
Fastigium alungit	Cupolă triunghiulară alungită	Cupolă pătrată alungită	Cupolă pentagonală alungită	Rotondă pentagonală alungită	Fastigium giroalungit	Cupolă triunghiulară giroalungită	Cupolă pătrată giroalungită	Cupolă pentagonală giroalungită	Rotondă pentagonală giroalungită


Augmentate de la poliedrele
Prismă pătrată Prismă triunghiulară	Prismă hexagonală Cupolă triunghiulară	Prismă octogonală Cupolă pătrată	Prismă decagonală Cupolă pentagonală	Prismă decagonală Rotondă pentagonală	Antiprismă pătrată Prismă triunghiulară	Antiprismă hexagonală Cupolă triunghiulară	Antiprismă octogonală Cupolă pătrată	Antiprismă decagonală Cupolă pentagonală	Antiprismă decagonală Rotondă pentagonală

Bicupole

Girobicupola triunghiulară este un poliedru arhimedic (în acest caz cuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Ortobicupole				Girobicupole
Coplanar	J27	J28	J30	J26	Semiregulat	J29	J31
Ortobifastigium	Ortobicupolă triunghiulară	Ortobicupolă pătrată	Ortobicupolă pentagonală	Girobifastigium	Girobicupolă triunghiulară (cuboctaedru)	Girobicupolă pătrată	Girobicupolă pentagonală


Augmentate de la poliedrele
Prismă triunghiulară	Cupolă triunghiulară	Cupolă pătrată	Cupolă pentagonală	Prismă triunghiulară	Cupolă triunghiulară	Cupolă pătrată	Cupolă pentagonală

Cupole-rotonde și birotonde

Girobirotonda pentagonală este un poliedru arhimedic (în acest caz icosidodecaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Cupole-rotonde		Birotonde
J32	J33	J34	Semiregulat
Ortocupolărotondă pentagonală	Girocupolărotondă pentagonală	Ortobirotondă pentagonală	Girobirotondă pentagonală (icosidodecaedru)


Augmentate de la poliedrele
Cupolă pentagonală Rotondă pentagonală		Rotondă pentagonală

Bicupole alungite

Ortobicupola pătrată alungită este un poliedru arhimedic (în acest caz rombicuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson.

Ortobicupole alungite				Girobicupole alungite
Coplanar	J35	Semiregulat	J38	Coplanar	J36	J37	J39
Ortobifastigium	Ortobicupolă triunghiulară alungită	Ortobicupola pătrată alungită (rombicuboctaedru)	Ortobicupolă pentagonală alungită	Girobifastigium alungit	Girobicupolă triunghiulară alungită	Girobicupolă pătrată alungită	Girobicupolă pentagonală alungită


Augmentate de la poliedrele
Prismă pătrată Prismă triunghiulară	Prismă hexagonală Cupolă triunghiulară	Prismă octogonală Cupolă pătrată	Prismă decagonală Cupolă pentagonală	Prismă pătrată Prismă triunghiulară	Prismă hexagonală Cupolă triunghiulară	Prismă octogonală Cupolă pătrată	Prismă decagonală Cupolă pentagonală

Cupole-rotonde și birotonde alungite

Cupole-rotonde alungite		Birotonde alungite
J40	J41	J42	J43
Ortocupolărotondă pentagonală alungită	Girocupolărotondă pentagonală alungită	Ortobirotondă pentagonală alungită	Girobirotondă pentagonală alungită


Augmentate de la poliedrele
Prismă decagonală Cupolă pentagonală Rotondă pentagonală		Prismă decagonală Rotondă pentagonală

Bicupole giroalungite, cupole-rotonde și birotonde

Aceste poliedre Johnson au două forme chirale.

Bicupole giroalungite				Cupolă-rotondă giroalungită	Birotondă giroalungită
Concav	J44	J45	J46	J47	J48
Bifastigium giroalungit	Bicupolă triunghiulară giroalungită	Bicupolă pătrată giroalungită	Bicupolă pentagonală giroalungită	Cupolărotondă pentagonală giroalungită	Birotondă pentagonală giroalungită


Augmentate de la poliedrele
Prismă triunghiulară Antiprismă pătrată	Cupolă triunghiulară Antiprismă hexagonală	Cupolă pătrată Antiprismă octogonală	Cupolă pentagonală Antiprismă decagonală	Cupolă pentagonală Rotondă pentagonală Antiprismă decagonală	Rotondă pentagonală Antiprismă decagonală

Prisme augmentate

Poliedrele Johnson 49–57 sunt construite prin augmentarea fețelor laterale ale prismelor cu piramide pătrate.

Prisme triunghiulare augmentate			Prisme pentagonale augmentate		Prisme hexagonale augmentate
J49	J50	J51	J52	J53	J54	J55	J56	J57
Prismă triunghiulară augmentată	Prismă triunghiulară biaugmentată	Prismă triunghiulară triaugmentată	Prismă pentagonală augmentată	Prismă pentagonală biaugmentată	Prismă hexagonală augmentată	Prismă hexagonală parabiaugmentată	Prismă hexagonală metabiaugmentată	Prismă hexagonală triaugmentată


Augmentate de la poliedrele
Prismă triunghiulară Piramidă pătrată			Prismă pentagonală Piramidă pătrată		Prismă hexagonală Piramidă pătrată

Poliedre platonice modificate

Poliedrele Johnson 58–64 sunt construite prin augmentarea sau diminuarea poliedrelor platonice.

Dodecaedre augmentate

J58	J59	J60	J61
Dodecaedru augmentat	Dodecaedru parabiaugmentat	Dodecaedru metabiaugmentat	Dodecaedru triaugmentat


Augmentate de la poliedrele
Dodecaedru și piramidă pentagonală

Icosaedre diminuate și diminuate–augmentate

Icosaedre diminuate				Icosaedru tridiminuat augmentat
J11 (Repetat)	Uniform	J62	J63	J64
Icosaedru diminuat (Piramidă pentagonală giroalungită)	Icosaedru parabidiminuat (Antiprismă pentagonală)	Icosaedru metabidiminuat	Icosaedru tridiminuat	Icosaedru tridiminuat augmentat

Poliedre arhimedice modificate

Poliedrele Johnson 65–83 sunt construite prin augmentarea, diminuarea sau girarea poliedrelor arhimedice.

Poliedre arhimedice augmentate

Tetraedru trunchiat augmentat	Cuburi trunchiate augmentate		Dodecaedre trunchiate augmentate
J65	J66	J67	J68	J69	J70	J71
Tetraedru trunchiat augmentat	Cub trunchiat augmentat	Cub trunchiat biaugmentat	Dodecaedru trunchiat augmentat	Dodecaedru trunchiat parabiaugmentat	Dodecaedru trunchiat metabiaugmentat	Dodecaedru trunchiat triaugmentat


Augmentate de la poliedrele
tetraedru trunchiat cupolă triunghiulară	cub trunchiat cupolă pătrată		dodecaedru trunchiat cupolă pentagonală

Rombicosidodecaedre diminuate girate

Rombicosidodecaedre girate
J72	J73	J74	J75
Rombicosidodecaedru girat	Rombicosidodecaedru parabigirat	Rombicosidodecaedru metabigirat	Rombicosidodecaedru trigirat


Rombicosidodecaedre diminuate
J76	J80	J81	J83
Rombicosidodecaedru diminuat	Rombicosidodecaedru parabidiminuat	Rombicosidodecaedru metabidiminuat	Rombicosidodecaedru tridiminuat


Rombicosidodecaedre diminuate girate
J77	J78	J79	J82
Rombicosidodecaedru diminuat paragirat	Rombicosidodecaedru diminuat metagirat	Rombicosidodecaedru diminuat bigirat	Rombicosidodecaedru bidiminuat girat

J37 ar apărea și aici ca duplicat (este un rombicuboctaedru girat).

Alte poliedre arhimedice diminuate și girate

Alte poliedre arhimedice pot fi girate și diminuate, dar toate au ca rezultat poliedrele enumerate anterior.

J27	J3	J34	J6	J37	J19	Uniform
Cuboctaedru girat (ortobicupolă triunghiulară)	Cuboctaedru diminuat (cupolă triunghiulară)	Icosidodecaedru girat (ortobirotondă pentagonală)	Icosidodecaedru diminuat (rotondă pentagonală)	Rombicuboctaedru girat (girobicupolă pătrată alungită)	Rombicuboctaedru diminuat (cupolă pătrată alungită)	Rombicuboctaedru bidiminuat (prismă octogonală)


Girate sau diminuate de la poliedrele
Cuboctaedru		Icosidodecaedru		Rombicuboctaedru

Poliedre elementare

Poliedrele Johnson 84–92 nu sunt derivate din manipulările „tăiat și lipit” ale poliedrelor uniforme.

Antiprisme snub

Antiprismele snub pot fi construite prin alternarea antiprismelor trunchiate. Girobianticupolele sunt o altă construcție pentru antiprismele snub. Doar antiprismele snub cu cel mult 4 fețe pot fi construite din poligoane regulate. Antiprisma triunghiulară snub este icosaedrul regulat, deci nu este un poliedru Johnson.

J84	Regulat	J85
Bisfenoid snub ss{2,4}	Icosaedru ss{2,6}	Antiprismă pătrată snub ss{2,8}
Girobianticupolă digonală	Girobianticupolă triunghiulară	Girobianticupolă pătrată

Altele

J86	J87	J88
Sfenocoroană	Sfenocoroană augmentată	Sfenomegacoroană


J89	J90	J91	J92
Hebesfenomegacoroană	Bisfenocingulum	Bilunulăbirotondă	Hebesfenorotondă triunghiulară

Clasificarea după tipul fețelor

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare

Cinci poliedre Johnson sunt deltaedre, având toate fețele triunghiuri echilaterale:

J12 Bipiramidă triunghiulară J13 Bipiramidă pentagonală J17 Bipiramidă pătrată giroalungită	J51 Prismă triunghiulară triaugmentată J84 Bisfenoid snub

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare și pătrate

Douăzeci și patru de poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare și pătrate:

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare și pentagonale

Unsprezece poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare și pentagonale:

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și pentagonale

Douăzeci de poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și pentagonale:

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale

Opt poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale:

J3 Cupolă triunghiulară J18 Cupolă triunghiulară alungită J22 Cupolă triunghiulară giroalungită J54 Prismă hexagonală augmentată	J55 Prismă hexagonală parabiaugmentată J56 Prismă hexagonală metabiaugmentată J57 Prismă hexagonală triaugmentată J65 Tetraedru trunchiat augmentat

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate și octogonale

Cinci poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și octogonale:

J4 Cupolă pătrată J19 Cupolă pătrată alungită J23 Cupolă pătrată giroalungită	J66 Cub trunchiat augmentat J67 Cub trunchiat biaugmentat

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pentagonale și decagonale

Două poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și decagonale:

J6 Rotondă pentagonală J25 Rotondă pentagonală giroalungită

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate, pentagonale și hexagonale

Un singur poliedru Johnson are fețe triunghiulare, pătrate pentagonale și hexagonale:

J92 Hebesfenorotondă triunghiulară

Poliedre Johnson cu fețe triunghiulare, pătrate, pentagonale și decagonale

Șaisprezece poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate pentagonale și decagonale:

Poliedre Johnson inscriptibile

25 de poliedre Johnson au vârfurile pe suprafața unei sfere: 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Toate acestea provin din câte un poliedru regulat sau uniform prin girare, diminuare sau disecție.^[4]

Octaedru	Cuboctaedre		Rombicuboctaedre
J1	J3	J27	J4	J19	J37

Icosaedre				Icosidodecaedre
J2	J11	J62	J63	J6	J34

Rombicosidodecaedre
J5	J72	J73	J74	J75	J76	J77
J5	J78	J79	J80	J81	J82	J83

Note

^ ru Zalgaller, Victor A. (1967). „Выпуклые многогранники с правильными гранями”. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302. Prima demonstrație că există doar 92 de poliedre Johnson. Traduce în engleză: en Zalgaller, Victor A. (1969). „Convex Polyhedra with Regular Faces”. Seminars in Mathematics, V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad. Consultants Bureau. 2. ISSN 0080-8873. Zbl 0177.24802.
^ en GWH. „Pseudo Rhombicuboctahedra”. www.georgehart.com. Accesat în 17 aprilie 2018.
^ en George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids”. Virtual Polyhedra. Accesat în 5 februarie 2014.
^ en Klitzing, Dr. Richard. „Johnson solids et al”. bendwavy.org. Accesat în 17 aprilie 2018.

Bibliografie

en Johnson, Norman W. (1966). „Convex Solids with Regular Faces”. Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. Conține enumerarea celor 92 de poliedre și conjectura că nu există altele.
en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 3 Further Convex polyhedra

Vezi și

Legături externe

Materiale media legate de poliedru Johnson la Wikimedia Commons
fr Gagnon, Sylvain (1982). „Les polyèdres convexes aux faces régulières” [Convex polyhedra with regular faces] (PDF). Structural Topology (6): 83–95.
en Paper Models of Polyhedra
en Johnson Solids de George W. Hart.
en Images of all 92 solids, categorized, on one page
en Eric W. Weisstein, Johnson Solid la MathWorld.
en VRML models of Johnson Solids de Jim McNeill
en VRML models of Johnson Solids de Vladimir Bulatov
en CRF polychora discovery project attempts to discover CRF polychora Arhivat în 31 octombrie 2020, la Wayback Machine., o generalizare a poliedrelor Johnson în spațiul 4-dimensional
en https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ a generator of polyhedrons and Conway operations applied to them, including Johnson solids.

Portal matematică

[1] ru Zalgaller, Victor A. (1967). „Выпуклые многогранники с правильными гранями”. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302. Prima demonstrație că există doar 92 de poliedre Johnson. Traduce în engleză: en Zalgaller, Victor A. (1969). „Convex Polyhedra with Regular Faces”. Seminars in Mathematics, V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad. Consultants Bureau. 2. ISSN 0080-8873. Zbl 0177.24802.

[2] GWH. „Pseudo Rhombicuboctahedra”. www.georgehart.com. Accesat în 17 aprilie 2018.

[3] George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids”. Virtual Polyhedra. Accesat în 5 februarie 2014.

[4] Klitzing, Dr. Richard. „Johnson solids et al”. bendwavy.org. Accesat în 17 aprilie 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]