Unghi tangențial
În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa Ox.[1] (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.[2])
Ecuații
[modificare | modificare sursă]Dacă o curbă este definită parametric prin (x(t), y(t)), atunci unghiul tangențial φ în t este definit (până la un multiplu de 2π) prin[3]
Aici, simbolul „ ” (prim) indică derivata în raport cu t. Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză (x(t), y(t)), în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul
este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la t este unghiul φ astfel încât (cos φ, sin φ) este versorul tangent la t.
Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului(d) s, astfel încât | x′(s), y′(s) | = 1, atunci definiția se simplifică la
În acest caz, curbura κ este dată de φ′(s), unde κ se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta.[1] Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:[1][4]
Dacă curba este dată de graficul funcției y = f(x), atunci se poate lua (x, f(x)) ca parametrizare, și se poate considera că φ este între −π2 și π2. Asta duce la expresia explicită
Unghi tangențial polar
[modificare | modificare sursă]În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct.[5][6] Dacă prin ψ este notat unghiul tangențial polar, atunci ψ = φ − θ, unde φ este ca mai sus și θ este, ca de obicei, unghiul polar.
Dacă curba este definită în coordonate polare prin r = f(θ), atunci unghiul tangențial polar ψ la θ este definit (până la un multiplu de 2π) prin
- .
Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului s drept r = r(s), θ = θ(s), astfel încât | r′(s), rθ′(s) | = 1, atunci definiția devine
- .
Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.[5][6]
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ a b c Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.
- ^ en Whewell, W. (). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671. Această lucrare folosește φ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.
- ^ en Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.
- ^ en Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN 978-0-9728482-4-4.
- ^ a b en Williamson, Benjamin (). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222.
- ^ a b en Logarithmic Spiral la PlanetMath
Lectură suplimentară
[modificare | modificare sursă]- en „Notations”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (în French).
- en Yates, R. C. (). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126.