Абсолютная непрерывность — Википедия

Абсолютная непрерывность — свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

[править | править код]

Функция называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого найдётся такое , что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов области определения функции , который удовлетворяет условию , выполнено неравенство [1].

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

  • Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
  • Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
  • Пусть абсолютно непрерывная функция на . Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная интегрируема по Лебегу и для всех выполняется равенство:
    .
  • Если функция абсолютно непрерывна на отрезке и абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения , то для того, чтобы суперпозиция была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).
  • Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.
  • Вариация абсолютно непрерывной функции является абсолютно непрерывной.
  • Пусть и абсолютно непрерывны на , тогда для них справедлива классическая формула интегрирования по частям.
  • Пусть дифференцируема в каждой точке отрезка (важно! что именно в каждой точке), причем интегрируема на в смысле Лебега, тогда абсолютно непрерывна.

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

на конечных интервалах, содержащих 0;
  • функция на неограниченных интервалах.

Примечания

[править | править код]
  1. Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

Литература

[править | править код]