Інтеграл Стілтьєса — Вікіпедія

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай маємо дві дійсні функції ,  — множину розбиттів відрізка   Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття ; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

.
Інтеграл Стілтьєса позначається так:
і за означенням він рівний границі:

У випадку, якщо  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку , тобто величина

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості

[ред. | ред. код]
(у випадку існування останнього інтеграла).
  • .
  • .
  • Якщо тоді .
  • Якщо тоді
  • .

В усіх попередніх рівняннях і вимагається існування інтегралів в правій частині.

Застосування у теорії ймовірностей

[ред. | ред. код]

Якщо  — функція розподілу ймовірностей випадкової величини , що має функцію щільності ймовірності відносно міри Лебега і  — будь-яка функція, для якої математичне сподівання є скінченним, то густини ймовірності функція від є похідною від , тобто

.

Але ця формула не буде працювати, якщо не має функції щільності ймовірності відносно міри Лебега. Зокрема, вона не працює, якщо розподіл випадкової величини дискретний (тобто вся ймовірність пояснюється точковими масами), а навіть, якщо функція кумулятивного розподілу є неперервною, вона не працює, якщо не буде абсолютно неперервною (знову ж таки, функція Кантора може слугувати прикладом цього збою). Але тотожність

справедлива, якщо  — будь-яка функція розподілу ймовірностей на дійсній прямій, незалежно як погано вона визначена. Зокрема, не важливо як поводить себе функція розподілу ймовірностей випадкової величини , якщо момент існує, то він дорівнює

.

Узагальнення

[ред. | ред. код]

Важливим узагальненням є інтеграл Лебега Стілтьєса, який узагальнює інтеграл Рімана Стілтьєса аналогічно тому, як інтеграл Лебега узагальнює інтеграл Рімана. Якщо існує невласний інтеграл Рімана Стілтьєса, то інтеграл Лебега не є більш строго загальним, ніж інтеграл Рімана Стілтьєса.

Інтеграл Рімана Стілтьєса також узагальнюється на випадок, коли або підінтегральна функція , або інтегратор визначені в просторі Банаха. Якщо набуває значень в просторі Банаха , то природно припустити, що вона є функцією строго обмеженої варіації, тобто

супремум розглядається по всіх скінченних розбиттях

інтервалу . Це узагальнення відіграє важливу роль у вивченні напівгруп[en] за допомогою перетворення Лапласа–Стілтьєса[en].

інтеграл Іто розширює інтеграл Рімана Стілтьєса, щоб охопити підінтегральну функцію та інтегратор, що є випадковими процесами, а не простими функціями; див. також теорію випадкових процесів.

Узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса

[ред. | ред. код]

Невеликим узагальненням є розгляд у наведених розділах визначення розбиття , що уточнює інше розбиття , тобто виникає з шляхом додавання точок, а не розбиттів з меншим околом. Зокрема, узагальнений інтеграл Рімана Стілтьєса функції відносно є число таке, що для будь-якого існує таке розбиття , що для кожного розбиття , яке покращує ,

для будь-якого набору точок . Це узагальнення проявляє властивості інтегралу Рімана Стілтьєса як границі Мура Сміта на спрямованій множині розбиттів інтервалу .

Суми Дарбу

[ред. | ред. код]

Інтеграл Рімана Стілтьєса може бути конструктивно введений за допомогою відповідного узагальнення сум Дарбу. Для розбиття і неспадної функції на верхня сума Дарбу функції відносно має вигляд

,

а нижня

.

Тоді узагальнений інтеграл Рімана Стілтьєса функції відносно існує, тоді і лише тоді, коли для будь-якого існує таке розбиття , що

Крім того, функції є інтегровною за Ріманом Стілтьєсом відносно (у класичному розумінні), якщо

Приклади та особливі випадки

[ред. | ред. код]

Диференційовність

[ред. | ред. код]

Нехай функція є неперервно-диференційованою на , тоді справедлива рівність

де інтеграл у правій частині є стандартним інтегралом Рімана, якщо вважати, що є інтегровною за Ріманом Стілтьєсом.

У загальному випадку, інтеграл Рімана дорівнює інтегралу Рімана Стілтьєса, якщо функція  — інтеграл Лебега від її похідної; в цьому випадку кажуть, що є абсолютно неперервною функцією. Можливі випадки, що функція має точки розриву першого роду або має нульову похідну майже скрізь і при цьому є неперервною і зростаючою (наприклад може бути функцією Кантора), тоді в будь-якому з таких випадків інтеграл Рімана Стілтьєса не можна представити через співвідношення, що включають похідні функції .

Випрямляч

[ред. | ред. код]

Розглянемо функцію , що використовується при вивченні нейронних мереж, і яку називають випрямлячем. Тоді інтеграл Рімана Стілтьєса можна обчислити як

де інтеграл у правій частині  — це стандартний інтеграл Рімана.

Інтеграл Рімана

[ред. | ред. код]

Стандартний інтеграл Рімана  — це особливий випадок інтеграла Рімана Стілтьєса з .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]