Ознака Абеля — Вікіпедія

У математиці ознака Абеля (також відома як критерій Абеля) є методом тестування збіжності нескінченного ряду. Ознака названа на честь математика Нільса Генріка Абеля. Існує дві трохи різні версії ознаки Абеля — одна використовується для рядів дійсних чисел, а інша — для степеневих рядів у комплексному аналізі. Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій, що залежать від параметрів.

Нехай виконуються такі умови:

1. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ — збіжний ряд,
2. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — монотонна послідовність,
3. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — обмежена, тобто ${\displaystyle |a_{n}|\leqslant K,}$ для деякого ${\displaystyle K>0}$ і всіх натуральних ${\displaystyle n.}$

Тоді ряд ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду ${\displaystyle \sum b_{n}}$. Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумування частинами).

Згідно критерію Коші збіжності числових рядів достатньо довести, що для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує натуральне число ${\displaystyle N}$ для якого для всіх ${\displaystyle n>N}$ і всіх натуральних чисел ${\displaystyle m}$ виконується нерівність ${\textstyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+m}a_{k}b_{k}\right|<\varepsilon .}$

Нехай ${\displaystyle \varepsilon >0}$ — довільне додатне число. Оскільки ряд ${\displaystyle b_{n}}$ є збіжним, то згідно ознаки Коші існує натуральне число ${\displaystyle N}$ для якого для всіх ${\displaystyle n>N}$ і всіх натуральних чисел ${\displaystyle m}$ виконується нерівності:

${\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+m}b_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{3K}}.}$

Якщо у цьому випадку позначити ${\textstyle B_{i}=\sum _{k=n+1}^{n+i}b_{k}}$ то ${\textstyle \max B_{i}<{\frac {\varepsilon }{3K}}}$ і можна застосувати нерівність із статті Дискретне перетворення Абеля:

${\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{m}a_{k+n}b_{k+n}{\bigg |}\leqslant (|a_{n+1}|+2|a_{n+m}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,m}|B_{k}|<3K{\frac {\varepsilon }{3K}}=\varepsilon .}$

Таким чином для ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ряд ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ задовольняє умову Коші для числа ${\displaystyle N}$ . Таким чином згідно критерію Коші ряд ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ є збіжним.

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел ${\displaystyle (a_{n})}$ монотонно спадає (або принаймні для всіх ${\displaystyle n}$, більших за деяке натуральне число ${\displaystyle m}$, маємо ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$), причому

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,}$

тоді степеневий ряд

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли ${\displaystyle z=1}$. Ознаку Абеля не можна застосовувати для ${\displaystyle z=1}$, тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності ${\displaystyle R\neq 1}$ за допомогою простої заміни змінних ${\displaystyle \zeta =z/R}$.^[1] Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти ${\displaystyle z=-1}$.

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка ${\displaystyle z}$ належить одиничному колу, ${\displaystyle z\neq 1}$. Для кожного значення ${\displaystyle n\geq 1}$ визначимо

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

Помноживши цю функцію на ${\displaystyle (1-z)}$, отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}=\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k}),}$

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — спадна.

Звідси, послідовність ${\displaystyle \{(1-z)f_{n}(z)\}}$ збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо ${\displaystyle z\neq 1}$, то можна поділити на ${\displaystyle (1-z)}$ і отримуємо результат.

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині ${\displaystyle E}$ така, що ${\displaystyle g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in E}$ та натуральних чисел ${\displaystyle n}$, і нехай ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle E}$. Тоді ряд ${\displaystyle \sum f_{n}(x)g_{n}(x)}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle E}$.

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції ${\displaystyle \ f(x)}$ і ${\displaystyle \ g(x)}$ визначені на проміжку ${\displaystyle \ [a,\infty )}$. Тоді невласний інтеграл ${\displaystyle \ \int _{a}^{\infty }{f(x)g(x)}\mathrm {d} x}$ є збіжним, якщо виконуються такі умови:

1. Функція ${\displaystyle \ f(x)}$ є інтегровна на ${\displaystyle \ [a,\infty )}$.
2. Функція ${\displaystyle \ g(x)}$ обмежена і монотонна.

• Ознака Діріхле збіжності ряду
• Інтегральна ознака Маклорена — Коші

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W. Abel's uniform convergence test(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.