Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду , названа на честь німецького математика Діріхле .
Нехай виконуються такі умови:
Послідовність B n = ∑ k = 1 n b k {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}} обмежена, тобто ∃ M > 0 : | B n | ⩽ M ∀ n ∈ N {\displaystyle \exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N} } . a n ⩾ a n + 1 ∀ n ∈ N {\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} } . lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . Тоді ряд ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} є збіжним.
Із збіжності a n {\displaystyle a_{n}} до нуля маємо, що для будь-якого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} існує N ∈ N , {\displaystyle N\in \mathbb {N} ,} що a n < ε {\displaystyle a_{n}<\varepsilon } виконується для всіх n > N {\displaystyle n>N} . Т
Також:
∑ k = 1 n a k b k = ∑ k = 1 n a k ( B k − B k − 1 ) = ∑ k = 1 n − 1 B k ( a k − a k + 1 ) + a n B n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}B_{n}}
Оскільки a n ⩾ a n + 1 ∀ n ∈ N {\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} } то також :
| ∑ k = 1 n − 1 B k ( a k − a k + 1 ) | ⩽ ∑ k = 1 n − 1 | B k | ( a k − a k + 1 ) ⩽ M ∑ k = 1 n − 1 ( a k − a k + 1 ) = M ( a 1 − a n ) {\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}|B_{k}|(a_{k}-a_{k+1})\leqslant M\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n})} Відповідно ряд ∑ k = 1 ∞ B k ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})} є абсолютно збіжним і ряд ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на a n B n {\displaystyle a_{n}B_{n}} , що прямує до нуля.
Нехай a n ⩾ a n + 1 ∀ n ∈ N {\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} } є монотонною послідовністю і lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . Якщо взяти b i = ( − 1 ) i − 1 {\displaystyle b_{i}=(-1)^{i-1}} то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + ⋯ {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots } . Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле. Якщо a n {\displaystyle a_{n}} є монотонно спадною і lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . Нехай тепер b j = cos j x {\displaystyle b_{j}=\cos jx} і b j = sin j x {\displaystyle b_{j}=\sin jx} де дійсне число x ≠ 2 π m , m ∈ Z . {\displaystyle x\neq 2\pi m,\,m\in \mathbb {Z} .} Згідно елементарних тригонометричних тотожностей : 2 sin j x sin 1 2 x = cos ( j − 1 2 ) x − cos ( j + 1 2 ) x {\displaystyle 2\sin jx\sin {1 \over 2}x=\cos \left(j-{1 \over 2}\right)x-\cos \left(j+{1 \over 2}\right)x} 2 cos j x sin 1 2 x = sin ( j + 1 2 ) x − sin ( j − 1 2 ) x {\displaystyle 2\cos jx\sin {1 \over 2}x=\sin \left(j+{1 \over 2}\right)x-\sin \left(j-{1 \over 2}\right)x} Таким чином: ∑ j = 1 n cos j x = cos 1 2 x − cos 3 2 x + cos 3 2 x − cos 5 2 x + … − cos ( n + 1 2 ) x 2 sin 1 2 x = cos 1 2 x − cos ( n + 1 2 ) x 2 sin 1 2 x {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos {\frac {3}{2}}x+\cos {\frac {3}{2}}x-\cos {\frac {5}{2}}x+\ldots -\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}} ∑ j = 1 n sin j x = − sin 1 2 x + sin 3 2 x − sin 3 2 x + sin 5 2 x − … + sin ( n + 1 2 ) x 2 sin 1 2 x = − sin 1 2 x + sin ( n + 1 2 ) x 2 sin 1 2 x {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin {\frac {3}{2}}x-\sin {\frac {3}{2}}x+\sin {\frac {5}{2}}x-\ldots +\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}} Із цих формул одержується, що всі суми ∑ j = 1 n cos j x {\textstyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx} і ∑ j = 1 n sin j x {\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx} за абсолютним значенням є обмеженими числом 1 | sin x 2 | . {\displaystyle {\frac {1}{\left|\sin {\frac {x}{2}}\right|}}.} Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди ∑ j = 1 ∞ a j cos j x {\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\cos jx} і ∑ j = 1 ∞ a j sin j x {\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\sin jx} є збіжними. Конкретними прикладами таких рядів є ∑ j = 1 ∞ cos j x j {\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos jx}{j}}} і ∑ j = 1 ∞ sin j x j . {\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\sin jx}{j}}.} Оскільки комплексне число z {\displaystyle z} для якого | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} можна записати як z = cos x + sin x ⋅ i {\displaystyle z=\cos x+\sin x\cdot i} і z j = cos j x + sin j x ⋅ i {\displaystyle z^{j}=\cos jx+\sin jx\cdot i} , то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду ∑ j = 1 ∞ z j j {\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j}}} для | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} і z ≠ 1. {\displaystyle z\neq 1.} Нехай виконуються умови:
f ( x ) ∈ C [ a , + ∞ ] {\displaystyle f(x)\in C[a,\;+\infty ]} і має на [ a , + ∞ ] {\displaystyle [a,\;+\infty ]} обмежену первісну F ( x ) {\displaystyle F(x)} , тобто ∃ M > 0 : | F ( x ) | ⩽ M ∀ x > a {\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a} ; функція g ( x ) ∈ C 1 [ a , + ∞ ] , g ( x ) > 0 , g ′ ( x ) ⩽ 0 ∀ x > a {\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a} ; lim x → + ∞ g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0} . Тоді ∫ a + ∞ f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx} існує.
Очевидно, також можна було визначити такі умови g ( x ) ∈ C 1 [ a , + ∞ ] , g ( x ) < 0 , g ′ ( x ) ⩾ 0 ∀ x > a {\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a} . Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою. ∫ 1 + ∞ sin x x + sin x d x = ∞ . {\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .} Проте ця умова не є необхідною:
∫ 2 + ∞ sin x x + 2 sin x d x {\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx} — збігається.