Узагальнена послідовність — Вікіпедія
Узагальнена послідовність ( також послідовність Мура — Сміта, направленість, також сітка, мережа від англійської net) в загальній топології — узагальнення поняття послідовності у якому областю визначення є довільна направлена множина (а не лише натуральні числа, як для звичайної послідовності).
Значення цього узагальнення полягає в тому, що воно дозволяє для довільних топологічних просторів дати твердження еквівалентні твердженням класичного аналізу. Зокрема через поняття збіжності узагальнених послідовностей можна охарактеризувати неперервність функцій, замкнутість і компактність множин так як це робиться у математичному аналізі.
Узагальненою послідовністю в топологічному просторі називається відображення з деякої направленої по зростанню множини в . Для узагальнених послідовностей використовуються позначення: або просто .
Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел .
Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки топологічного простору система околів із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів маємо , якщо . Якщо у кожному околі вибрати довільну точку , то відображення є узагальненою послідовністю.
Узагальнена послідовність називається збіжною до точки , якщо для будь-якого околу точки існує індекс такий, що для будь-якого . Точка називається границею узагальненої послідовності і позначається .
Множина всіх границь узагальненої послідовності позначається як . Якщо узагальнена послідовність має точно одну границю , то пишуть
Поняття підпослідовності можна узагальнити для узагальнених послідовностей. Узагальнена послідовність називається узагальненою підпослідовністю узагальненої послідовності , якщо для будь-якого існує такий індекс , що для будь-якого існує , що задовольняє рівності .
Фундаментальна узагальнена послідовність (або узагальнена послідовність Коші) є узагальненням звичайної фундаментальної послідовності для рівномірних топологічних просторів.[1]
Узагальнена послідовність називається фундаментальною, якщо для будь-якого оточення існує елемент , такий що для всіх , елементи .[1][2]
Для узагальненої послідовності за означенням верхня границя є рівною
Нижня границя за означенням є рівною:
Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей задовольняють багато властивостей, що є справедливими для звичайних послідовностей. Наприклад:
і у випадку збіжності хоча б однієї узагальненої послідовності цей вираз перетворюється у рівність.
- Нехай і — топологічні простори і . Відображення є неперервною в точці тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності , що збігається до у просторі , узагальнена послідовність збігається до точки у просторі .
- Якщо є неперервною в точці , то для кожного околу точки у просторі , множина є околом у . Тому якщо є узагальненою послідовністю, що збігається до точки у то існує для якого для всіх , тобто , і збігається до у .
- Навпаки, припустимо, що не є неперервною в точці і позначимо направлену систему околів точки . Існує окіл точки у , такий що для всіх , . Оберемо точки для всіх (з використанням аксіоми вибору). Тоді збігається до в але не збігається до у .
- Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.
- Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.
- Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.
- Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.
- Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.
- Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і — сім'єю замкнутих підмножин X таких що для кожної скінченної підмножини . Тоді також . В іншому разі, було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і — узагальнена послідовність у X. Для всіх позначимо Сім'я множин має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також . Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності , що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у . Тому має збіжну узагальнену підпослідовність.
- Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо . Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної , існує таке що для всіх . Розглянемо узагальнену послідовність . Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх існує таке що є околом x;проте для всіх , маємо . Ця суперечність завершує доведення.
- ↑ а б Willard, Stephen (2012), General Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, с. 260, ISBN 9780486131788.
- ↑ Joshi, K. D. (1983), Introduction to General Topology, New Age International, с. 356, ISBN 9780852264447.
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
- Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.