无量纲量 - 维基百科,自由的百科全书
在量綱分析中,無量綱量[1](dimensionless quantity)又称无因次量、量纲为一的量[2][3](quantity of dimension one)[註 1]指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字,量綱為1[4]。
無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中(如數數)被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率(π)、歐拉常數(e)和黃金分割率(φ)等。與之相對的是有量綱量,擁有諸如長度、面積、時間等單位。
無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比,但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如,應變是量度形變的量,定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L(長度),因此相除後得出的量是沒有量綱的。
屬性
[编辑]- 雖然無量綱量本身沒有量綱,但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位(kg/kg或mol/mol),有時可以幫助表達所測量的數值(如質量百分濃度或摩爾分數等)。某些量還可以表示為不同的單位之比,但這兩個單位的量綱相同(如光年除以米)。這種做法可以用於計算圖表中的斜率,或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱,而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有:%=0.01,百分比;‰=0.001,千分比;ppm=10−6,百萬分比;ppb=10−9,十億分比;ppt=10−12,兆分比(萬億分比)以及角單位(度、弧度、百分度)等等。
- 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的,而且無論用甚麼單位計算,該量還是不變的。例如,如果物體A對物體B施大小為F的作用力,那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1(見牛頓第三定律),而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設:物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1,而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話,這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制,而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎,其表述為:所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合(加、減、乘、除等等)寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話,那麼白金漢π定理就不成立了。
白金漢π定理
[编辑]白金漢π定理的另一項推論為,如果n個變數之間有某種函數關係,而這些變數中有k個獨立的量綱,則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。
例子
[编辑]某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量
這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成:
- 長度:L (m)
- 時間:T (s)
- 質量:M (kg)
根據該定理,通過組合這n = 5個變量,可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為:
例子
[编辑]- 在10個蘋果中,有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%,這是個無量綱量。
- 角:角的定義為,以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得,因此是個無量綱量。當所用的(無量綱)單位為弧度時,那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時,「另一長度」就是圓周長的360分之1。
- 圓周率是個無量綱量,定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時(厘米、英里、光年等等)都會是相同的,只要周長和直徑以同樣的單位量度。
無量綱量列表
[编辑]下表中所有的量均為無量綱量:
名稱 | 標準符號 | 定義 | 應用範疇 |
---|---|---|---|
阿贝数 | V | 光學(光的色散) | |
活度系數 | γ | 化學(活躍分子或原子佔總數之比) | |
反照率 | 氣候學、天文學 | ||
勞侖茲因子 | 相對論 | ||
阿基米德數 | Ar | 密度差造成的流體運動 | |
阿倫尼烏斯數 | 活化能與熱能之比[5] | ||
相對原子質量 | M | 化學 | |
伯格诺德数 | Ba | 固體塊的流動(如米粒或沙子)[6] | |
比贊數 (熱力學) | Be | 熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比[7] | |
比贊數 (流體力學) | Be | 沿著通道的壓力差[8] | |
賓漢數 | Bm | 屈服應力與黏滯應力之比[5] | |
毕奥数 | Bi | 固體的表面傳導率與體積傳導率之比 | |
布莱克数 | Bl或B | 流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性 | |
博登斯坦数 | Bo | 停留時間的分佈 | |
邦德數 | Bo | 由浮力推動的毛細作用[9] | |
布林克曼數 | Br | 從容器壁到黏性流體的熱傳導 | |
Brownell-Katz數 | 毛細管數和邦德數的組合 | ||
毛細管數 | Ca | 受表面張力影響的流體流動 | |
錢德拉塞卡數 | 磁對流,用以表達洛伦兹力與黏度之比 | ||
靜摩擦係數 | 物體間的靜摩擦 | ||
動摩擦係數 | 物體互相滑動時的摩擦 | ||
柯尔伯恩j因数 | 熱傳導的無量綱係數 | ||
庫朗數 | 雙曲型偏微分方程之解[10] | ||
达姆科勒数 | Da | 反應時間與共振時間之比 | |
阻尼比 | 系統中阻尼的程度 | ||
達西阻力係數 | 或 | 流體流動 | |
狄恩数 | D | 彎曲管道中的流體渦 | |
底波拉数 | De | 粘彈性流體的流動學 | |
分貝 | dB | 兩個強度之比,通常用於聲音 | |
阻力系數 | 流動阻力 | ||
Dukhin數 | Du | 異質系統中表面電導率與體積電導率之比 | |
歐拉常數 | e | 數學 | |
埃克特数 | Ec | 熱對流傳導 | |
埃克曼数 | Ek | 地球物理學(黏質阻力) | |
彈性 | E | 經濟學,常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響 | |
厄特沃什数 | Eo | 判斷汽泡或液滴形狀 | |
埃里克森数 | Er | 液晶流動特性 | |
歐拉數 (物理學) | Eu | 流體動力學(壓力與慣性力之比) | |
過量溫度係數 | Θr | 熱力學與流體動力學[11] | |
范宁摩擦系数 | f | 管道中的流體流動[12] | |
费根鲍姆常数 | 混沌理論(週期倍增)[13] | ||
精細結構常數 | 量子電動力學 | ||
焦比 | 光學、攝影 | ||
Foppl-von Karman數 | 薄壳失稳 | ||
傅里叶数 | Fo | 熱傳導 | |
菲涅耳数 | F | 狹縫衍射[14] | |
福禄数 | Fr | 波和表面行為 | |
增益 | 電子學(信號輸出與信號輸入之比) | ||
速比 | 單車傳動[15] | ||
伽利莱数 | Ga | 引力造成的黏質流動 | |
黃金分割比 | 數學、美學 | ||
格雷茨数 | Gz | 熱流 | |
格拉斯霍夫数 | Gr | 自由對流 | |
重力耦合常數 | 重力 | ||
八田數 | Ha | 化學反應造成的吸附增強 | |
哈根數 | Hg | 強制對流 | |
水力梯度 | i | 地下水流動 | |
雅各布数 | Ja | 液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比[16] | |
Karlovitz數 | 湍流燃烧 | ||
Kc數 | 震盪流場中物體的阻力與慣性之比 | ||
克努森数 | Kn | 分子平均自由程長度與某代表性長度之比 | |
尿素清除指數 | Kt/V | 醫學 | |
Kutateladze數 | K | 兩相逆流 | |
拉普拉斯数 | La | 混溶流體中的自由對流 | |
路易斯数 | Le | 質量擴散率與熱擴散率之比 | |
升力係數 | 在某攻角下翼型的升力 | ||
Lockhart-Martinelli參數 | 濕氣的流動 [17] | ||
乐甫数 | 地球的硬性 | ||
伦德奎斯特数 | ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma | ||
马赫数 | M | 氣體動力學 | |
磁雷诺数 | 磁流体力学 | ||
曼宁糙率系数 | n | 開放管道流體流動(由引力推動)[18] | |
马兰戈尼数 | Mg | 由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流 | |
莫顿数 | Mo | 判斷汽泡或液滴形狀 | |
彭巴數 | 溶液冷凍時的熱傳導與擴散[19] | ||
努塞尔特数 | Nu | 強制對流下的熱傳導 | |
奥内佐格数 | Oh | 液體霧化,马兰戈尼流 | |
佩克莱特数 | Pe | 平流-擴散問題,總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係 | |
剥离数 | 微觀結構與底物的黏附作用[20] | ||
導流係數 | K | 在帶電離子束中空間電荷的強度 | |
圓周率 | 數學(圓周長與直徑之比) | ||
泊松比 | 彈性(橫向與縱向負荷) | ||
多孔性 | 地質學 | ||
功率因數 | 電子學(有功功率与视在功率之比) | ||
功率數 | 攪拌器的功率消耗 | ||
普兰特数 | 黏性擴散率與熱擴散率之比 | ||
壓力係數 | 翼型上某個點的壓力 | ||
品質因子 | 描述振子的阻尼 | ||
弧度 | 量度平面角, | ||
瑞利数 | 自由對流中的浮力和黏滯力 | ||
折射率 | n | 電磁學、光學 | |
雷诺数 | 流體的慣性力與黏滯力之比[5] | ||
比重 | RD | 比重計,物質間的比較 | |
理查逊数 | Ri | 浮力對流動穩定性的影響[21] | |
洛氏硬度 | 硬度 | ||
滚动阻力系数 | Crr | 車輛動力學 | |
罗斯贝数 | 地球物理學中的慣性力,描述科里奧利力的影響程度 | ||
劳斯数 | Z或P | 沈積物流移 | |
施密特数 | Sc | 流體動力學(質量轉移與擴散)[22] | |
形狀因數 | H | 边界层流動中排移厚度與動量厚度之比 | |
舍伍德数 | Sh | 強制對流中的質量轉移 | |
希尔兹參數 | τ∗或θ | 流體運動造成的沈積物流移的臨界 | |
索默菲德数 | 邊層潤滑[23] | ||
斯坦顿数 | St | 強制對流中的熱傳遞 | |
斯蒂芬数 | Ste | 相變時的熱傳遞 | |
斯托克斯数 | 或 | 流體流中的粒子動力學 | |
應變 | 材料科学、彈性 | ||
斯特劳哈尔数 | St或Sr | 持續並脈動的流體流動[24] | |
泰勒数 | Ta | 旋轉的流體流動 | |
Ursell數 | U | 在淺流體層上表面引力波的非線性度 | |
Vadasz數 | Va | 在多孔介質中流體流動時,該數影響多孔性、普兰特数以及達西阻力係數 | |
范特霍夫因子 | i | 化學定量分析(Kf及Kb) | |
Wallis參數 | J* | 多相流體流動時的表現速 | |
韦伯数 | We | 表面極為彎曲的多相流體流動 | |
魏森贝格数 | Wi | 粘彈性流體流動[25] | |
沃默斯利数 | 持續並脈動的流體流動[26] |
無量綱的物理常數
[编辑]一些基本物理常數,如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波兹曼常数等等,在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後,可以歸一(數值為1)。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一,剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括:
- α:精細結構常數,電磁交互作用的耦合常数,α ≈ 1/137;
- μ或β:質子與電子的不變質量之比,可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比,μ ≈ 1836;
- αs:強相互作用的耦合常數;
- αG:重力的耦合常數,αG ≈ 1.75×10−45。
注释
[编辑]- ^ 其他称呼另有:无维量、无维度量、无维数量、无次元量等
參見
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始内容存档于2022-04-28).
- ^ https://www.termonline.cn/word/6875/1#
- ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始内容存档于2022-04-28).
- ^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. (原始内容存档于2012-10-04).
- ^ 5.0 5.1 5.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-03).
- ^ Bagnold number 互联网档案馆的存檔,存档日期2005-05-10.
- ^ Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9.
- ^ Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6.
- ^ Bond number 互联网档案馆的存檔,存档日期2012-03-05.
- ^ Courant–Friedrich–Levy number 互联网档案馆的存檔,存档日期2008-06-05.
- ^ Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X.
- ^ Fanning friction factor. [2013-01-31]. (原始内容存档于2013-12-20).
- ^ Feigenbaum constants. [2013-01-31]. (原始内容存档于2009-08-16).
- ^ Fresnel number 互联网档案馆的存檔,存档日期2011-10-01.
- ^ Gain Ratio - Sheldon Brown. [2013-01-31]. (原始内容存档于2016-01-05).
- ^ Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007: 376.
- ^ Lockhart–Martinelli parameter Archive-It的存檔,存档日期2008-12-17
- ^ Manning coefficientPDF (109 KB)
- ^ Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. arXiv:physics/0604224
. doi:10.1119/1.2996187. [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆) Mpemba number
- ^ Peel number. [2013-01-31]. (原始内容存档于2005-10-26).
- ^ Richardson number 互联网档案馆的存檔,存档日期2015-03-02.
- ^ Schmidt number 互联网档案馆的存檔,存档日期2010-01-24.
- ^ Sommerfeld number. [2013-01-31]. (原始内容存档于2016-03-16).
- ^ Strouhal number 互联网档案馆的存檔,存档日期2009-03-25.
- ^ Weissenberg number 互联网档案馆的存檔,存档日期2006-11-01.
- ^ Womersley number 互联网档案馆的存檔,存档日期2009-03-25.
外部連結
[编辑]- John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? (页面存档备份,存于互联网档案馆)"
- Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. (页面存档备份,存于互联网档案馆) Naval Research Laboratory. p. 23 (页面存档备份,存于互联网档案馆), 24 (页面存档备份,存于互联网档案馆), 25 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."