Gruppo diedrale

In matematica, il gruppo diedrale di ordine ${\displaystyle 2n}$ è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a ${\displaystyle n}$ lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ${\displaystyle {\mbox{D}}_{n}}$; si usano anche le notazioni ${\displaystyle {\mbox{Dih}}_{n}}$ e ${\displaystyle {\mbox{D}}_{2n}}$.

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto ${\displaystyle n}$ rotazioni possibili e ${\displaystyle n}$ assi di simmetria per un poligono di ${\displaystyle n}$ lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da ${\displaystyle 2n}$ elementi.

Indicato con ${\displaystyle r}$ la rotazione di ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ radianti in senso antiorario, e ${\displaystyle s}$ la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

• ${\displaystyle r^{n}=1}$: dopo ${\displaystyle n}$ rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
• ${\displaystyle s^{2}=1}$: due riflessioni consecutive si annullano;
• ${\displaystyle r^{k}s=sr^{n-k}}$: in particolare, il gruppo non è commutativo;
• ogni simmetria si può ottenere come composizione di ${\displaystyle s}$ e di un adeguato numero di rotazioni ${\displaystyle r}$;
• la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da ${\displaystyle r}$ ed ${\displaystyle s}$; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni ${\displaystyle s_{1}}$ e ${\displaystyle s_{2}}$ (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

• è il gruppo con presentazione

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle }$

oppure

${\displaystyle \langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=(s_{1}s_{2})^{n}=1\rangle }$;

• è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, con ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ che agisce su ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ per inversione;

• per ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle {\mbox{D}}_{n}}$ è un sottogruppo del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{n}}$;
• dato un numero ${\displaystyle m}$ che divide ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\mbox{D}}_{n}}$ ha ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$ sottogruppi di tipo ${\displaystyle {\mbox{D}}_{m}}$ e un sottogruppo di tipo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$;

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di ${\displaystyle n}$:

• il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se ${\displaystyle n}$ è dispari, mentre contiene anche l'elemento ${\displaystyle r^{\frac {n}{2}}}$ (equivalente alla rotazione di 180°) se ${\displaystyle n}$ è pari.
• se ${\displaystyle n}$ è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece ${\displaystyle n}$ è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Il caso ${\displaystyle n=1}$ è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di ${\displaystyle 2\pi }$ e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Il caso ${\displaystyle n=2}$ (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di ${\displaystyle \pi }$ e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ (gruppo di Klein).

${\displaystyle {\mbox{D}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\mbox{D}}_{2}}$ sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

${\displaystyle \left\{r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}:\,k=0,\,1,\,\ldots ,\,n-1\right\}\subseteq (\mathbb {C} )}$

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a ${\displaystyle n}$ lati. La moltiplicazione per ${\displaystyle r_{1}}$ corrisponde alla rotazione di ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$, mentre l'operazione di coniugazione complessa ${\displaystyle {\overline {x+iy}}=x-iy}$ corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine ${\displaystyle n}$.

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione ${\displaystyle a}$ di un angolo sottomultiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero ${\displaystyle n}$ per cui ${\displaystyle a^{n}}$ è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di ${\displaystyle 2\pi }$, non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con ${\displaystyle D_{\infty }}$) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da ${\displaystyle \langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle }$ oppure ${\displaystyle \langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1\rangle }$.

Dato un gruppo commutativo ${\displaystyle H}$, il gruppo diedrale generalizzato di ${\displaystyle H}$, che si indica con ${\displaystyle {\mbox{D}}(H)}$, è il prodotto semidiretto di ${\displaystyle H}$ e di ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, con ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ che agisce su ${\displaystyle H}$ per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

${\displaystyle {\begin{matrix}\forall h_{1},\,h_{2}\in H,\,t_{2}\in \mathbb {Z} _{2}:\\(h_{1},0)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}+h_{2},t_{2})\\(h_{1},1)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}-h_{2},1+t_{2})\end{matrix}}}$

Poiché ${\displaystyle {\mbox{D}}(\mathbb {Z} _{n})={\mbox{D}}_{n}}$ e ${\displaystyle {\mbox{D}}(\mathbb {Z} )={\mbox{D}}_{\infty }}$, questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo ${\displaystyle (h,0)}$ corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di ${\displaystyle {\mbox{D}}(H)}$ isomorfo ad ${\displaystyle H}$, mentre gli elementi del tipo ${\displaystyle (h,1)}$ corrispondono alle riflessioni.

• Roger Penrose, Gruppi di simmetria, in La strada che porta alla realtà, traduzione di Emilio Diana, Milano, BUR, 2006, ISBN 88-17-01233-5.

• Generatori di un gruppo
• Prodotto diretto
• Tavola dei gruppi piccoli

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul gruppo diedrale

• Gruppo diedrale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Dihedral Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Dihedral group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Applet java didattica sui gruppi, su dmi.units.it.

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