Numero p-adico

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Il sistema dei numeri ${\displaystyle p}$-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo ${\displaystyle p}$, il sistema dei numeri ${\displaystyle p}$-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri ${\displaystyle p}$-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei ${\displaystyle p}$-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.

Più concretamente per un dato numero primo ${\displaystyle p}$, il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ dei numeri ${\displaystyle p}$-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri ${\displaystyle p}$-adici per ogni ${\displaystyle p}$. Il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri ${\displaystyle p}$-adici sono conosciuti come numeri ${\displaystyle \ell }$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo ${\displaystyle p}$ è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

L'introduzione più semplice ai numeri ${\displaystyle p}$-adici è considerare i numeri ${\displaystyle 10}$-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero ${\displaystyle \ldots 9999}$, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "${\displaystyle 9}$", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero ${\displaystyle 1}$ (che in formato ${\displaystyle p}$-adico è ${\displaystyle \ldots 0001}$), otteniamo:

${\displaystyle {\frac {\;\;\;\ldots 9999 \atop +\ldots 0001}{\ldots 0000}}}$

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un ${\displaystyle 1}$. Per i numeri ${\displaystyle 10}$-adici si ha quindi che ${\displaystyle \ldots 9999=-1}$. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono ${\displaystyle 9}$. Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di ${\displaystyle 1}$ a sinistra; nei ${\displaystyle 2}$-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra ${\displaystyle p-1}$ per i numeri ${\displaystyle p}$-adici.

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

${\displaystyle ||x||_{p}={\frac {1}{p^{n}}},}$

dove ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ è scritto in forma irriducibile, cioè tale che ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi tali che ${\displaystyle p\nmid a}$ e ${\displaystyle p\nmid b}$.

Questa norma induce di conseguenza una distanza e quindi si può parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri ${\displaystyle p}$-adici ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ con la norma ${\displaystyle p}$-adica. I numeri ${\displaystyle p}$-adici di norma minore o uguale a ${\displaystyle 1}$ sono detti interi ${\displaystyle p}$-adici e l'insieme di tutti gli interi ${\displaystyle p}$-adici, in genere indicato con ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, forma un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$

Viene definita anche la valutazione ${\displaystyle p}$-adica come la valutazione:

${\displaystyle v_{p}(a)=\log _{\frac {1}{p}}||a||_{p}.}$

L'approccio algebrico consiste nel considerare ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ come il campo delle frazioni di ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, che a sua volta è il limite proiettivo di ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

La caratteristica di ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ è ${\displaystyle 0}$ ed infatti il suo sottocampo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, e che ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}}$ si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

Un modo comune di rappresentare un numero ${\displaystyle p}$-adico ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$ è il seguente:

${\displaystyle a=\sum _{i=n}^{\infty }a_{i}p^{i},}$

con ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, dove ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ non è altro che la valutazione ${\displaystyle p}$-adica ${\displaystyle v_{p}(a)}$ e ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$ per ogni ${\displaystyle i}$.

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma ${\displaystyle p}$-adica

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow +\infty }\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}p^{i}=0.}$

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: ${\displaystyle a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_{0},a_{1}\dots a_{n}\dots )}$ dove gli ${\displaystyle a_{i}}$ sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo ${\displaystyle a_{0}}$, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul numero p-adico

• Numeri p-adici, insieme dei, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) p-adic completion of the rational numbers, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti P-adic numbers, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, p-adic Number, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) P-adic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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