Gruppo nilpotente

In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo ${\displaystyle G}$ che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali

${\displaystyle \{1\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n-1}\subseteq H_{n}=G}$

tale che ogni quoziente ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ è contenuto nel centro di ${\displaystyle G/H_{i}}$. Il minimo ${\displaystyle n}$ per cui ${\displaystyle G}$ ammette una serie centrale di lunghezza ${\displaystyle n}$ è detto indice (o classe) di nilpotenza di ${\displaystyle G}$.

I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.

I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.

A partire da un gruppo ${\displaystyle G}$, possono essere definite due diverse catene di sottogruppi, una ascendente e una discendente.

La serie centrale ascendente è la successione ${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\subseteq Z_{1}\subseteq Z_{2}\subseteq \cdots }$ dove ogni ${\displaystyle Z_{i}}$ definito come ${\displaystyle Z_{i}:=\{g\in G\mid [g,h]\in Z_{i-1}{\text{ per ogni }}h\in G\}}$ (dove ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ è il commutatore di ${\displaystyle g}$ ed ${\displaystyle h}$); equivalentemente, ${\displaystyle Z_{i}}$ è tale che ${\displaystyle Z_{i}/Z_{i-1}}$ è il centro di ${\displaystyle G/Z_{i-1}}$.

La serie centrale discendente è la successione ${\displaystyle G=\Gamma _{0}\supseteq \Gamma _{1}\supseteq \Gamma _{2}\supseteq \cdots }$, dove ${\displaystyle \Gamma _{i}:=[G,\Gamma _{i-1}]}$ è il sottogruppo generato dagli elementi ${\displaystyle [g,h]}$, per ogni ${\displaystyle g\in G}$ e ogni ${\displaystyle h\in \Gamma _{i-1}}$.

Un gruppo è nilpotente se la serie centrale ascendente arriva a ${\displaystyle G}$ (cioè se ${\displaystyle Z_{n}=G}$ per qualche ${\displaystyle n}$), o equivalentemente se la serie centrale discendente arriva al sottogruppo banale ${\displaystyle \{1\}}$ (cioè se ${\displaystyle H_{m}=\{1\}}$ per qualche ${\displaystyle m}$); un'ulteriore condizione equivalente è l'esistenza di una serie centrale arbitraria, ovvero una successione di sottogruppi normali

${\displaystyle \{1\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{k-1}\subseteq H_{k}=G}$

in cui ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\subseteq Z(G/H_{i})}$. Se questo avviene, la lunghezza della serie centrale ascendente e di quella discendente sono uguali, e questo numero è la minima lunghezza di una serie normale di ${\displaystyle G}$: è detto indice (o classe) di nilpotenza di ${\displaystyle G}$.

Tutti i gruppi abeliani sono nilpotenti, in quanto ammettono la serie centrale ${\displaystyle \{1\}\subseteq G}$, e di conseguenza hanno indice di nilpotenza 1; viceversa, ogni gruppo con indice di nilpotenza 1 è abeliano.

Tutti i p-gruppi finiti sono nilpotenti e, in particolare, un gruppo con ${\displaystyle p^{n}}$ elementi ha indice di nilpotenza al più ${\displaystyle n-1}$; questo segue dal fatto che ogni p-gruppo ha centro non banale. Questo non vale se il gruppo è infinito: ad esempio, data una successione ${\displaystyle G_{n}}$ di p-gruppi, in cui ${\displaystyle G_{n}}$ ha indice di nilpotenza ${\displaystyle n}$, allora la somma diretta ${\displaystyle \bigoplus G_{n}}$ è un p-gruppo la cui serie centrale ascendente non termina.

Un esempio di gruppo infinito non abeliano ma nilpotente è il gruppo di Heisenberg ${\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\mid a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$.

Un gruppo il cui centro è banale non è mai nilpotente, in quanto la sua serie ascendente è stazionaria già a ${\displaystyle Z_{0}}$.

La proprietà di essere nilpotente si trasferisce ai sottogruppi e ai gruppi quoziente; se inoltre ${\displaystyle G}$ ha indice di nilpotenza ${\displaystyle c}$, allora l'indice dei suoi sottogruppi e dei suoi quozienti è al più ${\displaystyle c}$. Tuttavia la nilpotenza non è chiusa per estensioni: per esempio ${\displaystyle S_{3}}$ non è nilpotente, ma è estensione di ${\displaystyle A_{3}}$ mediante ${\displaystyle S_{3}/A_{3}}$, entrambi i quali sono gruppi nilpotenti. Se però ${\displaystyle N}$ è contenuto nel centro di ${\displaystyle G}$ e il quoziente ${\displaystyle G/N}$ è nilpotente di classe ${\displaystyle c}$, risulta che ${\displaystyle G}$ è nilpotente di classe al più ${\displaystyle c+1}$. Il prodotto diretto di una quantità finita di gruppi nilpotenti è ancora nilpotente, e la sua classe di nilpotenza è uguale al massimo delle classi dei fattori.

Poiché i quozienti ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ sono contenuti nel centro di ${\displaystyle G/H_{i}}$, ogni quoziente è abeliano, e quindi una serie centrale è, in particolare, una serie normale; questo implica che ogni gruppo nilpotente è risolubile. L'implicazione non può essere rovesciata: ad esempio il gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{3}}$ è risolubile ma non nilpotente (in quanto il suo centro è banale).

Una delle proprietà più importanti dei gruppi nilpotenti è il loro legame con i loro sottogruppi di Sylow. Se infatti ${\displaystyle G}$ è un gruppo nilpotente finito, allora tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali, e ${\displaystyle G}$ stesso è il prodotto diretto dei sottogruppi di Sylow; dal momento che i p-gruppi sono nilpotenti, questo risultato classifica i gruppi nilpotenti finiti come i prodotti diretti di p-gruppi. Nel caso infinito, i sottogruppi di Sylow possono non generare l'intero gruppo (in quanto possono essere presenti elementi di ordine infinito), ma essi sono ancora normali nel gruppo, e il loro prodotto diretto è uguale al sottogruppo di torsione di ${\displaystyle G}$.

• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

• (EN) Opere riguardanti Nilpotent groups, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Nilpotent Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.L. Shmel'kin, Nilpotent group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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