Teoremi di Sylow

In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

Essi affermano quanto segue. Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo finito di ordine ${\displaystyle n}$ (ovvero costituito da ${\displaystyle n}$ elementi). Sia ${\displaystyle p}$ un numero primo. Allora per ogni potenza ${\displaystyle m=p^{r}}$ di ${\displaystyle p}$ che divida ${\displaystyle n}$ esistono sottogruppi di ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle m}$. Inoltre, se ${\displaystyle m}$ è la massima potenza di ${\displaystyle p}$ che divida ${\displaystyle n}$, allora i sottogruppi di ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle m}$ sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Mathematische Annalen.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo finito, e sia ${\displaystyle |G|}$ il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo ${\displaystyle p}$ ed ogni intero ${\displaystyle r}$ tali che ${\displaystyle p^{r}}$ divida ${\displaystyle |G|}$, esiste un sottogruppo di ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle p^{r}}$.

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande ${\displaystyle p^{r}}$ che divide ${\displaystyle |G|}$. Quindi scriviamo ${\displaystyle |G|=p^{r}m}$, denotando con ${\displaystyle m}$ un intero positivo non divisibile per ${\displaystyle p}$. Denotiamo allora con ${\displaystyle X}$ la collezione di tutti i sottoinsiemi di ${\displaystyle G}$ formati da ${\displaystyle p^{r}}$ elementi:

${\displaystyle X=\{S\subseteq G\ |\ |S|=p^{r}\}.}$

La cardinalità di ${\displaystyle X}$ non è divisibile per ${\displaystyle p}$. Infatti è fornita dall'espressione

${\displaystyle |X|={p^{r}m \choose p^{r}}={\frac {(p^{r}m)(p^{r}m-1)\ldots (p^{r}m-i)\ldots (p^{r}m-p^{r}+1)}{(p^{r})(p^{r}-1)\ldots (p^{r}-i)\ldots 1}}}$ .

Essa fornisce un intero non divisibile per ${\displaystyle p}$: infatti un divisore di ${\displaystyle |X|}$ potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma ${\displaystyle p^{r}-i}$ con ${\displaystyle i}$ divisibile per ${\displaystyle p}$; per ciascuno di questi ${\displaystyle i}$ scriviamo ${\displaystyle i=p^{q}j}$, nella quale si intende che ${\displaystyle j}$ non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

${\displaystyle {\frac {p^{r}m-i}{p^{r}-i}}={\frac {p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}},}$

il quale non è in grado di fornire a ${\displaystyle |X|}$ un fattore razionale contenente una potenza positiva di ${\displaystyle p}$; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per ${\displaystyle |X|}$, in modo da ottenere un'espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per ${\displaystyle p}$.

Definiamo un'azione di ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}G\times X&\rightarrow &X\\(g,S)&\mapsto &gS=\{gs\,|\,s\in S\}.\end{matrix}}}$

Sia ${\displaystyle O(S)}$ l'orbita di ${\displaystyle S}$ tramite l'azione. Esiste sicuramente un ${\displaystyle S}$ la cui orbita ${\displaystyle O(S)}$ ha cardinalità non divisibile per ${\displaystyle p}$ (poiché le orbite formano una partizione di ${\displaystyle X}$, e ${\displaystyle |X|}$ non è multiplo di ${\displaystyle p}$).

Sia ${\displaystyle {\rm {Stab}}_{G}(S)}$ lo stabilizzatore di ${\displaystyle S}$. Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

${\displaystyle |G|=|O(S)|\cdot |{\rm {Stab}}_{G}(S)|.}$

Il numero ${\displaystyle p^{r}}$ divide ${\displaystyle |G|}$, ma ${\displaystyle p}$ non divide ${\displaystyle |O(S)|}$: allora ${\displaystyle p^{r}}$ divide ${\displaystyle |{\rm {Stab}}_{G}(S)|}$. Ne segue che

${\displaystyle |{\rm {Stab}}_{G}(S)|\geq p^{r}.}$

D'altra parte, fissato un elemento ${\displaystyle s}$ in ${\displaystyle S}$, l'applicazione

${\displaystyle {\rm {Stab}}_{G}(S)\to S\,\!}$

${\displaystyle g\mapsto g\cdot s\,\!}$

è iniettiva. Quindi vale anche

${\displaystyle |{\rm {Stab}}_{G}(S)|\leq p^{r}.}$

Ne segue che ${\displaystyle {\rm {Stab}}_{G}(S)}$ è un sottogruppo di cardinalità ${\displaystyle p^{r}}$.

Per enunciare il secondo teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo finito, e sia ${\displaystyle p}$ un numero primo che divida l'ordine ${\displaystyle |G|}$ di ${\displaystyle G}$. Sia ${\displaystyle |G|=p^{k}m}$, con ${\displaystyle m}$ non divisibile per ${\displaystyle p}$. (Dunque ${\displaystyle p^{k}}$ è la massima potenza di ${\displaystyle p}$ che divide l'ordine di ${\displaystyle G}$.) Si definisce ${\displaystyle p}$-sottogruppo di Sylow (o semplicemente ${\displaystyle p}$-Sylow) di ${\displaystyle G}$ ogni sottogruppo di ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle p^{k}}$.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo, e sia ${\displaystyle |G|=p^{k}m}$, con ${\displaystyle p}$ ed ${\displaystyle m}$ coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di ${\displaystyle G}$ sono coniugati, ovvero, detto Syl_p(G) l'insieme dei p-Sylow di ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \forall H,K\in Syl_{p}(G)\;\exists g\in G:g^{-1}Hg=K.}$

Chiamiamo (per agilità di notazioni) ${\displaystyle A\,\colon \!=\mathrm {Syl} _{p}\,(G)}$. Per mostrare che tutti i p-Sylow di ${\displaystyle G}$ sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme ${\displaystyle A}$ è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

${\displaystyle G\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (g,P)\mapsto g^{-1}Pg}$

Procediamo per assurdo. Siano D₁ e D₂ due orbite distinte, e siano P un elemento di D₁, Q un elemento di D₂ e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con ${\displaystyle P^{x}=x^{-1}Px}$, è un elemento di D₁. Dunque possiamo restringere l'azione a D₁:

${\displaystyle Q\times D_{1}\longrightarrow D_{1}}$

${\displaystyle (q,P)\mapsto q^{-1}Pq}$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in D₁. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

${\displaystyle |D_{1}|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}}$

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento P_i è proprio il normalizzante in ${\displaystyle Q}$ di P_i. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di ${\displaystyle Q}$ e poiché ${\displaystyle Q}$ è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o ${\displaystyle 1}$ o una potenza propria di ${\displaystyle p}$ (è un'immediata conseguenza del teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D₁, possiamo dire che D₁ è l'orbita di ${\displaystyle P}$ nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, ${\displaystyle |D_{1}|=|O(P)|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|}$. Per il teorema di Lagrange, ${\displaystyle |G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|}$. Dunque, ne segue che ${\displaystyle |G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P|=m}$. Dunque, ${\displaystyle |G:N_{G}(P)|}$ è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche ${\displaystyle |D_{1}|}$ non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che ${\displaystyle |O(P_{j})|=1}$. Questo significa che ${\displaystyle |Q:N_{Q}(P_{j})|=1|}$, e quindi che ${\displaystyle Q=N_{Q}(P_{j})}$. Il che implica che ${\displaystyle QP_{j}=P_{j}Q}$, poiché ${\displaystyle q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q}$. Dunque, ${\displaystyle QP_{j}\leq G}$ e il suo ordine vale:

${\displaystyle |QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}}$.

Il numeratore vale ${\displaystyle p^{k}\cdot p^{k}}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto ${\displaystyle Q\cap P_{j}\leq Q}$ e ${\displaystyle Q\cap P_{j}\leq P_{j}}$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe ${\displaystyle Q=P_{j}}$, ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, ${\displaystyle |QP_{j}|=p^{z}}$, con ${\displaystyle z>k}$. Ma questo è un assurdo, poiché ${\displaystyle QP_{j}\leq G}$. Dunque l'ipotesi che D₁ e D₂ fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Sia G un gruppo, e sia |G|=p^km, con p ed m coprimi. Allora, detto n_p il numero dei p-Sylow di G, risulta:

• n_p | m
• n_p ≡ 1 mod p

Detto A:=Syl_p(G), ovviamente n_p = |A|. Considerando P∈A, per il secondo teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, ${\displaystyle |A|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|}$, dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, ${\displaystyle |G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|}$. Dunque, poiché |P| = p^k, ${\displaystyle |G:N_{G}(P)|}$ divide m. Poiché n_p = |A|, ne segue che n_p | m.

Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo Q ∈ A e definiamo l'azione

${\displaystyle Q\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (q,P)\mapsto q^{-1}Pq}$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

${\displaystyle |A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}}$

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che ${\displaystyle O(Q)=O(P_{s})\;\exists s\in \{1,\dots ,r\}}$ e che ${\displaystyle |O(P_{s})|=|Q:N_{Q}(P_{s})|=|Q:N_{Q}(Q)|=1}$. Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista ${\displaystyle P_{j}\neq Q}$ tale che ${\displaystyle |O(P_{j})|=1}$. Allora ${\displaystyle |Q:N_{Q}(P_{j})|=1}$, ovvero ${\displaystyle Q=N_{Q}(P_{j})}$. Il che implica che ${\displaystyle QP_{j}=P_{j}Q}$, poiché ${\displaystyle q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q}$. Dunque, ${\displaystyle QP_{j}\leq G}$ e il suo ordine vale:

${\displaystyle |QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}}$.

Il numeratore vale ${\displaystyle p^{k}\cdot p^{k}}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto ${\displaystyle Q\cap P_{j}\leq Q}$ e ${\displaystyle Q\cap P_{j}\leq P_{j}}$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe ${\displaystyle Q=P_{j}}$, ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse ${\displaystyle P_{j}\neq Q}$. Dunque, ${\displaystyle |QP_{j}|=p^{z}}$, con ${\displaystyle z>k}$. Ma questo è un assurdo, poiché ${\displaystyle QP_{j}\leq G}$. Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

${\displaystyle n_{p}=|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)}$

Un gruppo di ordine ${\displaystyle pq}$ con ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ primi, ${\displaystyle p}$ minore di ${\displaystyle q}$ che non divide ${\displaystyle q-1}$, per esempio di ordine ${\displaystyle 33}$, è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero n_q di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente n_q=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo n_p ≡ 1 mod p e poiché n_p divide q deve essere n_p=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora ${\displaystyle G}$ si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esistono due gruppi di ordine ${\displaystyle 6}$ (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).

Vediamo perché un gruppo ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle 132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11}$ contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n₁₁=1 o n₁₁=12. Se fosse n₃=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n₁₁=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n₃=1 il 3-Sylow C₃ sarebbe normale. Allora G/C₃ avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle G}$ di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in ${\displaystyle K}$ genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n₃=4. Anche in questo caso n₁₁ non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S₂ è normale. Vediamo il quoziente G/S₂: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$ di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che ${\displaystyle G}$ ne avesse complessivamente 120).

• (EN) Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3
• Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9.

• Sylow, teoremi di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Sylow Theorems, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sylow theorems, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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