Gruppo primario

In teoria dei gruppi, dato un numero primo ${\displaystyle p}$, si definisce un ${\displaystyle p}$-gruppo come un gruppo i cui elementi hanno tutti un periodo che è una potenza di ${\displaystyle p}$. In altre parole, per ogni elemento ${\displaystyle g}$ del gruppo esiste un intero non negativo ${\displaystyle m}$ tale che ${\displaystyle g}$ elevato alla potenza ${\displaystyle p^{m}}$ coincide con l'unità del gruppo stesso. Un tale gruppo si dice anche ${\displaystyle p}$-primario, o semplicemente primario.

Per un gruppo finito G richiedere che sia un p-gruppo equivale a chiedere che l'ordine di G, cioè il numero dei suoi elementi, sia una potenza del numero primo p.

Sappiamo che i gruppi primari finiti godono di molte proprietà. Uno dei primi risultati standard, ottenuto servendosi della equazione delle classi di coniugio afferma che il centro non può ridursi alla sola unità, cioè al sottogruppo banale. Più stringentemente si dimostra che ogni gruppo primario finito è sia nilpotente che risolubile.

Due gruppi primari dello stesso ordine non sono necessariamente isomorfi; ad esempio il gruppo ciclico C₄ e il gruppo di Klein V₄ sono entrambi 2-gruppi di ordine 4, ma non sono isomorfi. Molti gruppi primari non sono abeliani: il gruppo diedrale D₄ è un 2-gruppo non abeliano.

Ogni gruppo finito non banale contiene un sottogruppo che è un gruppo primario. Questo è assicurato dai teoremi di Sylow.

In senso asintotico, si ritiene comunemente che quasi tutti i gruppi finiti siano gruppi primari, anzi che quasi tutti i gruppi finiti siano 2-gruppi. Infatti se si denota con F(n) la funzione che ad ogni intero positivo n associa il rapporto tra il numero dei 2-gruppi non isomorfi di ordine al più n con il numero di tutti i gruppi non isomorfi di ordine al più n, tale funzione sembra essere monotona crescente e tendente ad 1. A titolo esemplificativo dei 49 910 529 484 gruppi non isomorfi di ordine al più 2000, ben 49 487 365 422 sono 2-gruppi e dunque F(2000)>0,9915^[1].

Diamo ora un esempio di gruppo primario infinito. Denotato al solito con p un numero primo, chiamiamo G l'insieme dei numeri razionali della forma m/pⁿ con m ed n numeri interi naturali tali che m < pⁿ. G è chiuso rispetto alla somma modulo 1, questa operazione è commutativa e invertibile e il numero 0 è il suo elemento neutro. G munito della somma modulo 1 costituisce un p-gruppo infinito e abeliano. Ogni gruppo isomorfo a G viene chiamato p^∞-gruppo. I gruppi di queste classi di isomorfismo svolgono un ruolo importante nella classificazione dei gruppi abeliani infiniti.

La classe dei p^∞-gruppi può essere utilmente rappresentata dal sottogruppo moltiplicativo di C \ {0} costituito da tutte le pⁿ-esime radici dell'unità con n intero naturale arbitrario.
Un altro possibile rappresentante dei p^∞-gruppi è il limite diretto dei gruppi Z / pⁿZ rispetto agli omomorfismi Z / pⁿZ → Z / pⁿ⁺¹Z che sono indotti dalla moltiplicazione per p.

• (EN) Hans Ulrich Besche, Bettina Eick, E. A. O'Brien, A millennium project: constructing small groups, in International Journal of Algebra and Computation, vol. 12, n. 5, 2002, pp. 623-644, DOI:10.1142/S0218196702001115.

• gruppo nilpotente
• sottogruppo di Sylow
• gruppo di Prüfer
• rango di Prüfer

• (EN) Eric W. Weisstein, p-Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) P-group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica