三角積分(さんかくせきぶん、英語: trigonometric integral)は数学において、三角関数を含む積分によって定義される特殊関数の一つである。
正弦積分 (sine integral) は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Si} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin {t}}{t}}\mathrm {d} t\\&\operatorname {si} (z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\mathrm {d} t=\operatorname {Si} (z)-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6b038b267067959ad66e9714a0403962074beb)
被積分関数は非正規化Sinc関数といい、球ベッセル関数のα=0のときの値に等しい。
余弦積分 (cosine integral) は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e502bd3693dff2718360b714da299ab49de6ec4)
複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように複素対数関数と正則関数の和で表すことができる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}-\operatorname {Cin} (z)\\\operatorname {Cin} (z)&=\int _{0}^{z}{\frac {1-\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3c55f9f46f453b1525e1a94798742ada333b4b)
![{\displaystyle {d \over dz}\operatorname {Si} (z)={d \over dz}\operatorname {si} (z)={\frac {\sin(z)}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3310127ecc438f02b7abb7dd86296f89598d3d7)
![{\displaystyle {d \over dz}\operatorname {Ci} (z)={\frac {\cos(z)}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e821c8ae629b18fc9942a3aae45ea5630b639f)
![{\displaystyle \int \operatorname {Si} (z)dz=z\operatorname {Si} (z)+\cos(z)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b96beb33ee137436a34e65d8ba32ef0874b53d)
![{\displaystyle \int \operatorname {Ci} (z)dz=z\operatorname {Ci} (z)-\sin(z)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7f55e0a0ce81077cec23ab53d8c22e169c2c4d)
また、Si(z)のz→∞のときの値
![{\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }\operatorname {Si} (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1da6b1b8f1b73f36a1310556aa0340f5c81b91)
はディリクレ積分といい、複素積分などを用いることによって示せる。
ローラン級数
![{\displaystyle \operatorname {Si} (z)=z\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)^{2}(2k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a156faeb09947fd364b1b6d96c04487a07db85b8)
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (z)=\gamma +\log(z)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k(2k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a984c7ece778547d3b8b27b58d14e578ad7b245b)
ベッセル級数
![{\displaystyle \operatorname {Si} (z)=\pi \sum _{k=0}^{\infty }J_{{\frac {1}{2}}+k}{\Bigl (}{\frac {z}{2}}{\Bigr )}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60be8cb023e89544c49f0d978a8c0e5ccdf88767)
超幾何級数
![{\displaystyle \operatorname {Si} (z)=z\cdot {_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41ddeb09a0e83ab8daf6723e2364169c6b30f03)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}-{\frac {z^{2}}{4}}\cdot {_{2}F_{3}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2,{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e4d5ec0e425d1a52de65df6e69e52988b84978)
![{\displaystyle \operatorname {Ein} (\pm iz)=\operatorname {Cin} (z)\pm i\operatorname {Si} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4637fdeb46ecf96a92553133ad6d4248ba8c15f9)
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