Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci[1]:

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta
a także ogólniej dla argumentów zespolonych.
Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:


Sposób 1:
Niech
Zauważmy, że:

więc trójkąt
jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:



Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

jest równe

Zatem

q.e.d.
Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.
Sposób 2:
Ze wzoru Eulera:

oraz

Zatem
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}+{\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2}{4}}=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571ee4ba50ce26a8979e23daa6324a64c9727459)
q.e.d.
Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.
Sposób 3:
Niech:

Zauważmy, że:

Także:

Skoro pochodna funkcji
jest równa 0, to funkcja
musi być funkcją stałą.
Wiedząc, że
oraz że funkcja
jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że

q.e.d.
- ↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.