Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta
– przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni
oraz jej iloczynów tensorowych
itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:
- pełną przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
- symetryczną (dla bozonów),
- antysymetryczną (dla fermionów).
Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.
W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako zmienne losowe[1].
Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Focka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932[2] dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[3].
Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
[edytuj | edytuj kod] Niech
oraz
oznacza grupę permutacji zbioru
Definicja 1.
Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów
nazywamy element przestrzeni tensorowej
taki że
![{\displaystyle u_{1}\vee u_{2}\vee \ldots \vee u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629779a0d134153b13615bf8639ab8f457109b3c)
Definicja 2.
Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów
nazywamy element przestrzeni tensorowej
taki że
![{\displaystyle u_{1}\wedge u_{2}\wedge \ldots \wedge u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma }u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f1cd017c6d6b99a01a294a97d7f6ec75ac276f)
gdzie
– znak permutacji
(co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).
Definicja 3.
n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni
nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni
generowanej przez wektory
gdzie
przebiegają całą przestrzeń
Definicja 4.
n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni
nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni
generowanej przez wektory
gdzie
przebiegają całą przestrzeń
Oznaczenia:
– n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni
– n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni
Iloczyny tensorowe symetryczny
oraz antysymetryczny
tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego
przestrzeni Hilberta.
Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja
[edytuj | edytuj kod] Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:
(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe
tzn.
A. Jeżeli
jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to
A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes 2}\equiv {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04131b42266f706370f38cf1c2e23a121c3db12b)
zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).
B. Analogicznie przestrzeń
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}=\underbrace {{\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}} _{n{\rm {-razy}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a54ce92950ff7c9c199bb0923e6a09e9de4cc5c)
zawiera stany układu
cząstek tego samego typu.
C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie
są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla
cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe
poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.
Definicja przestrzeni Focka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznej
[edytuj | edytuj kod] Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta
zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli
- pełną przestrzenią Focka (inne nazwy: wolna przestrzeń Focka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad
jest przestrzeń
![{\displaystyle \Phi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus {\mathcal {H}}\oplus ({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})\oplus \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aff87aa9cd329f31cd16e43fe4bae53364b3e28)
Inne oznaczenia:
bądź
- symetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Focka) nad
jest przestrzeń
![{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\vee n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe54794ce4f4a5f8e1d4f372518fdd2d618fd6d)
Inne oznaczenia:
- antysymetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Focka) nad
jest przestrzeń
![{\displaystyle \Psi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\wedge n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dad54577a5f6c080018a080cfb3c0dc2dbe0c97)
Inne oznaczenia:
Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.
W każdym z powyższych przypadków
-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu
cząstek.
Każdy element
pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci
![{\displaystyle f=(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n},\dots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d158ce627d2370b38e34b6324ae3df9bba0ba076)
(często dla skrócenia zapisu pisze się
bądź
), gdzie
jest elementem przestrzeni
(odpowiednio,
) oraz
![{\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{n\geqslant 0}\|f_{n}\|^{2}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155a7848f5686ff9002652421af56e6501d8d903)
Wektor
(zapisywany często w postaci sumy prostej
)
nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem
bądź
Przestrzeń liniowa
generowana przez wektory postaci
gdzie
przebiega zbiór liczb naturalnych, a
przestrzeń
tj.
![{\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})={\text{Lin}}\left\{u^{\otimes n}\colon n\geqslant 0,u\in {\mathcal {H}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ca8c19b5bae14e5da206e44515c788cfcc52d8)
jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni
Przestrzeń
nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.
Dla każdego elementu
przestrzeni
wzór:
![{\displaystyle \varepsilon (u):=\left(1,u,{\frac {u^{\otimes 2}}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {u^{\otimes n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedb792a91c620ed23304c393c10cb492521f9c4)
określa element przestrzeni
nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora
W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym
Jeżeli
i
należą do
to
![{\displaystyle \left\langle \varepsilon (u),\varepsilon (v)\right\rangle =e^{\left\langle u,v\right\rangle }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a420b06d8d9bfc5b35b2e10b4b84d46670b27a)
Dla dowolnego podzbioru
przestrzeni
symbol
oznacza podprzestrzeń
![{\displaystyle {\mathcal {E}}(S):={\text{Lin}}\left\{\varepsilon (u)\colon u\in S\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded4d26d005bcbd7ed4679999da3ec5200c4dd0d)
W szczególności, gdy
można pisać krótko
Zbiór
jest liniowo niezależny. Co więcej,
jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni
- Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta
Jeżeli
są przestrzeniami Hilberta, to
![{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2})=\Gamma ({\mathcal {H}}_{1})\otimes \Gamma ({\mathcal {H}}_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4702113996341ac8db450e316edb663e32e26dca)
przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację
to powyższy wzór przybiera postać
![{\displaystyle e^{{\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}}=e^{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes e^{{\mathcal {H}}_{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e96672c4bc1c8db2cdae65b0d1c58c3907aa32)
co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).
Jeżeli
jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz
jest jej bazą ortonormalną, to zbiory
![{\displaystyle \left\{\left.\Omega ,e_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{n}}\right|i_{j}=1,2,\dots ,\ j=1,2,\dots ,n,\ n=1,2,\dots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e178d7234fe53894aa5fe0b2d8616f3d8922ec)
![{\displaystyle \left\{\Omega ,\left.\left({\frac {n!}{r_{1}!\dots r_{k}!}}\right)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}^{r_{1}}\vee e_{i_{2}}^{r_{2}}\vee \ldots \vee e_{i_{k}}^{r_{k}}\right|r_{1}+\ldots +r_{k}=n,\ 1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k},\ k,n=1,2,\dots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685e79515cb1da0548828044a39278e44f0dc365)
![{\displaystyle \left\{\left.\Omega ,(n!)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}\right|1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n},n=1,2,\dots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154a87546ad241ee965dfbea8c94bb72386e89e9)
są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni
i
Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.
Niech
będzie ustalonym elementem przestrzeni
Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka
[edytuj | edytuj kod]
Funkcje
![{\displaystyle a_{0}(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6706b7ec39c9755a0d46151e0b4c8fefdda88d)
![{\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087451fae3a1459c3a4bec346fc34aba89d27f44)
dane wzorami
![{\displaystyle a_{0}(u)\varepsilon (v)=\left\langle u,v\right\rangle \varepsilon (v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fad6951dc0bfa5951070f375abbea6fa48d51d)
![{\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\varepsilon (v)={\frac {d}{dt}}\left.\varepsilon (v+tu)\right|_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f998d013afd88eec0634cce02989e24e5ce7d6d)
można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na
w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór
jest liniowo niezależny.
Podprzestrzeń
jest gęsta w
tak więc
i
są operatorami domkniętymi.
Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:
[5],
przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.
Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności
![{\displaystyle a(u):=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f274aa9d1553665ba5a01055ad1a38e777e865)
oraz
![{\displaystyle a^{*}(u):=a_{0}(u)^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f4ab1ce9cdc1fa0618c1da31082cd58bca7967)
Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór
jest ich dziedziną istotną (podobnie jak
na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:
![{\displaystyle a(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n}}\left\langle u,v\right\rangle v^{\otimes (n-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d439439ca4f74dacccca7e768187689e8172ed)
oraz
![{\displaystyle a^{*}(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n+1}}P^{(n+1)}(u\otimes v^{\otimes n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d968dc514f3d0bcb24bbfeda17abfe995a44426)
Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni
do
cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni
do
-cząstkowej.
Maksymalną dziedziną, na jakiej są one zdefiniowane (jako domknięte operatory wzajemnie sprzężone), jest odpowiednio[6]: dla operatora anihilacji
![{\displaystyle D(a(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b06c1b4a7f080211cee27d0b8aaffbe2369ae6c)
oraz dla operatora kreacji
![{\displaystyle D(a^{*}(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a^{*}(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af1f7a3fe006f64d73114f72dcfcf8cdab3db08)
Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):
![{\displaystyle [a(u),a^{*}(v)]=\left\langle u,v\right\rangle I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282afa9bce6074c68812e8bfa7070b6222f28877)
![{\displaystyle \{a(u),a(v)\}=\{a^{*}(u),a^{*}(v)\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2f6f5bfb4c15960edd2b8328cecdca418fef88)
gdzie
oznacza komutator operatorów, a
ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.
Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,
![{\displaystyle \sup _{\|h\|=1}\|a(u)h\|\geqslant \sup _{v\in {\mathcal {H}}}\|a(u)e^{-{\frac {\|v\|^{2}}{2}}}\varepsilon (v)\|=\sup _{v\in {\mathcal {H}}}|\left\langle u,v\right\rangle |=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8235e97a2b4d53f9b0c1893646b51e89c1b1796f)
W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji –
i kreacji –
przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do
Operator liczby cząstek
na
określony jest w następujący sposób:
![{\displaystyle N\colon D(N)\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\to \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n\geqslant 0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5f198236429ac59cf5d0fa9df6b9973b592637)
gdzie:
![{\displaystyle D(N):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852615cbebeefc90a67f10f5b48fe9a4dec3ff26)
Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na
Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek
Zbiór
jest dziedziną istotną operatora
tzn. jest domknięciem obcięcia operatora
do zbioru
W szczególności, dla dowolnej funkcji
operator
jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:
![{\displaystyle D(f(N)):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5add9aa0e6c474168a9131072970f4c542a83313)
![{\displaystyle f(N)u=(f(n)u_{n})_{n\geqslant 0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c94488c4e0ba907d40194c582ac949cce04bf48)
- Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych
Dla każdej liczby naturalnej
iloczyn tensorowy
można w naturalny sposób utożsamić z
skąd
![{\displaystyle \Gamma (\mathbb {C} )=\Phi (\mathbb {C} )=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \ldots =\ell ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe6b8c90bc631963cc16332f20f606f8613be44)
Dla każdej liczby zespolonej
wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci
![{\displaystyle \varepsilon (z)=\left(1,z,{\frac {z^{2}}{\sqrt {2!}}},\dots ,{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43707346770de5f8144c2cde239916cc56cc42d3)
i należy do przestrzeni
Niech
będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni
rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:
![{\displaystyle e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc164e691c5796e42a195b828489d82a67a52eaa)
gdzie
jest wielomianem Hermite’a stopnia
Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm
że
![{\displaystyle [Ue(z)](x)=e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}},\,z\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db7991a01c5ec544499d7dc480399741bdc4122)
- Przestrzeń Focka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej
Niech
będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną
na przestrzeni funkcji ciągłych
Dla dowolnej funkcji zespolonej
będącej elementem przestrzeni
(z miarą Lebesgue’a), niech
oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu
Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm
![{\displaystyle U\colon \Gamma (L^{2}([0,\infty )))\to L^{2}(\mathbb {B} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd947bbbc97f33ad27a8fb6c6322ebe511ebe48b)
który spełnia warunek
![{\displaystyle [Ue(f)](B)=\exp {\left(\int _{0}^{\infty }fdB-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }f(t)^{2}dt\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50784af813e706c07dad1b6a1c24b236217e042)
Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].
- ↑ Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.).
- ↑ V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622–647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458.
- ↑ J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222–245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417.
- ↑ H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157–242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888.
- ↑ Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.).
- ↑ Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.).
- ↑ I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57–103, 1959. Paryż.
- Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123–134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.).
- Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201–210. ISBN 978-3540244066. (ang.).
- Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53–54. ISBN 978-0125850506. (ang.).
- Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207–209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.).