Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów ; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa .
Wielomiany te spełniają zależność[1] :
T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T k ( x ) = 2 x ⋅ T k − 1 ( x ) − T k − 2 ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)} Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:
T k ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) k + ( x − x 2 − 1 ) k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.} Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k {\displaystyle k} -tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:
T k ( − x ) = ( − 1 ) k T k ( x ) . {\displaystyle T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).} Dla x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} podstawiając za x = cos t , {\displaystyle x=\cos \,t,} dla k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\dots }
T k ( cos t ) = ( cos t + cos 2 t − 1 ) k + ( cos t − cos 2 t − 1 ) k 2 = ( cos t + − sin 2 t ) k + ( cos t − − sin 2 t ) k 2 = ( cos t + i ⋅ sin t ) k + ( cos t − i ⋅ sin t ) k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}} gdzie i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}
Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k -tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
T k ( cos t ) = cos k t . {\displaystyle T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.} Wracając do zmiennej x : {\displaystyle x{:}} t = arccos x {\displaystyle t=\arccos x}
T k ( x ) = cos ( k arccos ( x ) ) . {\displaystyle T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}} (*) Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa k {\displaystyle k} -tego stopnia przez funkcję trygonometryczną cos {\displaystyle \cos } i jej odwrotność arccos . {\displaystyle \arccos .} Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x {\displaystyle x} równe:
T k ( x ) = { cos ( k arccos x ) , x ∈ [ − 1 , 1 ] cosh ( k arcosh ( x ) ) , x ⩾ 1 ( − 1 ) k cosh ( k arcosh ( − x ) ) , x ⩽ − 1 {\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}} Można wykazać, że
cos ( k t ) = e i k t + e − i k t 2 = ( e i t ) k + ( e i t ) − k 2 , {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},} ponieważ zachodzi
e i t = cos ( t ) + i sin ( t ) {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)} oraz
sin ( t ) = 1 − cos 2 ( t ) {\displaystyle \sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}} zachodzi
e i t = cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 , {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},} a stąd
cos ( k t ) = ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 ) k + ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 ) − k 2 {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}} podstawiają za cos ( t ) {\displaystyle \cos(t)} x , otrzymuje się
T k ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) k + ( x + x 2 − 1 ) − k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.} Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa . Wielomian Czebyszewa T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} posiada k zer rzeczywistych należących do [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} danych wzorem:
x j = cos ( 2 j − 1 2 k π ) , j = 1 , 2 , … , k . {\displaystyle x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.} Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni L p 2 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]} z funkcją wagową w ( x ) = 1 1 − x 2 : {\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}}
∫ − 1 1 T k ( x ) T j ( x ) d x 1 − x 2 = { 0 : k ≠ j π : k = j = 0 π / 2 : k = j ≠ 0 {\displaystyle {}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.} ⟨ T k , T j ⟩ = ∫ − 1 1 T k ( x ) ⋅ T j ( x ) 1 − x 2 d x = ∫ − 1 1 cos ( k ⋅ arccos ( x ) ) ⋅ cos ( j ⋅ arccos ( x ) ) 1 − x 2 d x . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.} Zastosujmy podstawienie t = arccos ( x ) . {\displaystyle t=\arccos(x).} Mamy wówczas d t d x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} oraz x = cos ( t ) . {\displaystyle x=\cos(t).} Stosując we wcześniejszym wzorze:
⟨ T k , T j ⟩ = − ∫ π 0 cos ( k ⋅ t ) ⋅ cos ( j ⋅ t ) 1 − cos 2 ( t ) 1 − cos 2 ( t ) d t = ∫ 0 π cos ( k ⋅ t ) ⋅ cos ( j ⋅ t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.} Korzystając ze wzoru trygonometrycznego cos ( α ) ⋅ cos ( β ) = 1 2 [ cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ] {\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]} dostajemy
⟨ T k , T j ⟩ = ∫ 0 π 1 2 [ cos ( ( k − j ) t ) + cos ( ( k + j ) t ) ] d t = 1 2 ∫ 0 π cos ( ( k − j ) t ) d t + 1 2 ∫ 0 π cos ( ( k + j ) t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.} Załóżmy w tym momencie, że k ≠ j {\displaystyle k\neq j} i rozpatrzmy obie całki osobno.
∫ 0 π cos ( ( k − j ) t ) d t = 1 k − j ∫ 0 ( k − j ) π cos ( t ) d t = 1 k − j [ sin ( t ) ] 0 ( k − j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.} Analogicznie:
∫ 0 π cos ( ( k + j ) t ) d t = 1 k + j ∫ 0 ( k + j ) π cos ( t ) d t = 1 k + j [ sin ( t ) ] 0 ( k + j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.} Zatem:
⟨ T k , T j ⟩ = 0. {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =0.} Widać, że założenie, iż k ≠ j {\displaystyle k\neq j} jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku .
Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe .
Teraz rozważmy przypadek, kiedy j = k ≠ 0 {\displaystyle j=k\neq 0}
⟨ T k , T k ⟩ = 1 2 ∫ 0 π [ cos ( ( k − k ) t ) + cos ( ( k + k ) t ) ] d t = 1 2 ∫ 0 π [ 1 + cos ( 2 k t ) ] d t = π 2 + ∫ 0 π cos ( 2 k t ) d t = π 2 + 1 2 k ∫ 0 2 k π cos ( t ) d t = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} W przypadku k = j = 0 {\displaystyle k=j=0} dostajemy ⟨ T 0 , T 0 ⟩ = π {\displaystyle \langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi } co kończy dowód.
Wielomiany Czebyszewa od T0 do T8 Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:
T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1} T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x} T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1} T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x {\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x} T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 {\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1} T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x {\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x} T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 {\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1} T 9 ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x . {\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.} Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa 1 2 k − 1 T k ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)} ma na odcinku [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} najmniejszą normę jednostajną (maksymalną wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:
w k ( x ) = x k + a k − 1 x k − 1 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} zachodzi nierówność:
max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | w k ( x ) | ⩾ max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | 1 2 k − 1 T k ( x ) | . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.} Wiedząc, że dla każdego x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} wielomian T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} przyjmuje wszystkie wartości z [ − 1 ; 1 ] , {\displaystyle [-1;1],} możemy napisać:
max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | w k ( x ) | ⩾ 1 2 k − 1 . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.} Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów , używa się węzłów Czebyszewa , leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego , czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian, zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom .
U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1} U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x} U k ( x ) = 2 x ⋅ U k − 1 ( x ) − U k − 2 ( x ) {\displaystyle U_{k}(x)=2x\cdot U_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)} Funkcja wagowa iloczynu skalarnego : ρ ( x ) = 1 − x 2 . {\displaystyle \rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}