Mecânica clássica |
---|
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Orbital_motion.gif/180px-Orbital_motion.gif) Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Em mecânica clássica, o produto de inércia mede a anti-simetria da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. A unidade de medida do produto de inércia no Sistema Internacional de Unidades é
.
Em um corpo rígido os produtos de inércia são as componentes do tensor de inércia que localizam-se fora da diagonal principal.
Suponha um corpo rígido que possua massa
, contenha
partículas e seja descrito em um sistema com
coordenadas, o tensor de inércia é dado por
então para
as componentes do tensor tornam-se
onde
é a densidade de massa.
Separando-se a função em partições
e fazendo a norma da partição ficar pequena o suficiente obtém-se
(note que
)
utilizando o lado esquerdo da Equação (2) com o mesmo argumento que usamos para chegar à integral q-upla em (4), obtemos o mesmo resultado.
que é o produto de inércia no referido sistema de coordenadas. Para o sistema de coordenadas cartesiano, por exemplo, a integral acima se reduz à uma integral de volume (tripla)
![{\displaystyle I_{ij}=\int \limits _{C}x_{i}x_{j}\,dm\equiv \iiint \limits _{Q}x_{i}x_{j}\rho (x_{1},x_{2},x_{3})d^{3}x~~~(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a4814a19acbf84d0b72868c7bd7b695b7acf2c)
Fixando-se arbitrariamente uma origem O em qualquer sistema material S, existe um referencial ortogonal Oxyz tal que:
![{\displaystyle I_{xy}=I_{yz}=I_{zx}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed92ddb5dfdd9ea7ada0a33d6559830d3440f73c)
Estes eixos são denominados eixos principais de inércia em relação a origem
.
Caso
seja coincidente com o centro de gravidade
, os eixos principais de inércia são também chamados de eixos centrais de inércia.