Cálculo Cálculo integral
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Em matemática , a regra do produto , também designada por "lei de Leibniz ", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.[ 1]
Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,
Em linguagem matemática Em português ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'} A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f Ou, o que é a mesma coisa, d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = g ( x ) d d x [ f ( x ) ] + f ( x ) d d x [ g ( x ) ] {\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x){{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x){{d \over dx}\left[g(x)\right]}}
ou, segundo a notação de Leibniz :
d d x ( u v ) = u d v d x + v d u d x . {\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.} A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz :
d d x ( u ⋅ v ⋅ w ) = d u d x ⋅ v ⋅ w + d v d x ⋅ u ⋅ w + d w d x ⋅ u ⋅ v {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+{\dfrac {dv}{dx}}\cdot u\cdot w+{\dfrac {dw}{dx}}\cdot u\cdot v}
Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto. Sejam f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} duas funções diferenciáveis de x {\displaystyle x} . Definindo u = f ( x ) {\displaystyle u=f(x)} e v = g ( x ) {\displaystyle v=g(x)} , a área u v {\displaystyle uv} do retângulo (ver Figura 1) é representada por f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} .
se x {\displaystyle x} varia por Δ x {\displaystyle \Delta x} , as variações correspondentes em u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} são designadas por Δ u {\displaystyle \Delta u} e Δ v {\displaystyle \Delta v} .
A variação da área do retângulo é então:
Δ ( u v ) = ( u + Δ u ) ( v + Δ v ) − u v = ( Δ u ) v + u ( Δ v ) + ( Δ u ) ( Δ v ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}} isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.
Dividindo por Δ x {\displaystyle \Delta x} :
Δ ( u v ) Δ x = ( Δ u Δ x ) v + u ( Δ v Δ x ) + ( Δ u Δ x ) ( Δ v Δ x ) Δ x . {\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.} E tomando o limite Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} , obtém-se:
d d x ( u v ) = ( d u d x ) v + u ( d v d x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).} Seja uma função h ( x ) = x e x {\displaystyle h(x)=xe^{x}} . Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e g ( x ) = e x {\displaystyle g(x)=e^{x}} . Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:
d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = g ( x ) ⋅ d d x [ f ( x ) ] + f ( x ) ⋅ d d x [ g ( x ) ] = {\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x)\cdot {{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x)\cdot {{d \over dx}\left[g(x)\right]}=} Substituindo f(x) por x, g(x) por e e x {\displaystyle e^{x}} , a derivada de g(x) por e x {\displaystyle e^{x}} (pois a derivada de e x {\displaystyle e^{x}} é e x {\displaystyle e^{x}} ) e a derivada de f(x) por 1, teremos:
= d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = e x ⋅ 1 + x ⋅ e x = ( x + 1 ) e x {\displaystyle ={d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=e^{x}\cdot 1+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}} Referências ↑ STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190. ↑ A parte algébrica da seguinte demonstração é equivalente à apresentada no livro Calculus: An Introductory Approach (1961), de Ivan Niven , nas páginas 75 e 76.